関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法を用います。$y = \log(u)$ のとき、$y' = \frac{1}{u} \cdot u'$ となります。

ここで、$u = x + \sqrt{x^2 + 1}$ です。

$u'$ を計算する必要があります。

$u' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

したがって、

$y' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\right)$

$y' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

$y' = \frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{(x + \sqrt{x^2 + 1})\sqrt{x^2 + 1}}$

$y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$