以下の2つの関数を積分する問題です。 (1) $\frac{x-3}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}}$ (2) $\frac{1}{(1-x)\sqrt{x^2 + x + 1}}$

1. 問題の内容

以下の2つの関数を積分する問題です。

(1) $\frac{x-3}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}}$

(2) $\frac{1}{(1-x)\sqrt{x^2 + x + 1}}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{x-3}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}}$の積分

まず、分子を分母の微分形を含むように変形します。分母の微分は$2x+2$なので、$x-3 = \frac{1}{2}(2x+2) - 4$と変形できます。すると、

$\int \frac{x-3}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} dx = \int \frac{\frac{1}{2}(2x+2) - 4}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} dx$

$= \frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} dx - 4 \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} dx$

ここで、$\int \frac{2x+2}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} dx$ は、$u = x^2 + 2x + 3$と置換すると、$du = (2x+2)dx$なので、

$\int \frac{2x+2}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} du = 2\sqrt{u} + C_1 = 2\sqrt{x^2 + 2x + 3} + C_1$

次に、$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} dx$ を計算します。平方完成すると、$x^2 + 2x + 3 = (x+1)^2 + 2$となるので、

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2 + 2}} dx$

$x+1 = \sqrt{2}\sinh(t)$ と置換すると、$dx = \sqrt{2}\cosh(t)dt$となるので、

$\int \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2 + 2}} dx = \int \frac{\sqrt{2}\cosh(t)}{\sqrt{2\sinh^2(t) + 2}} dt = \int \frac{\sqrt{2}\cosh(t)}{\sqrt{2}\cosh(t)} dt = \int dt = t + C_2 = \sinh^{-1}\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right) + C_2$

したがって、

$\int \frac{x-3}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} dx = \sqrt{x^2 + 2x + 3} - 4\sinh^{-1}\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right) + C$

(2) $\frac{1}{(1-x)\sqrt{x^2 + x + 1}}$の積分

この積分はやや難しいので、部分分数分解や三角関数置換など、様々なテクニックを使うことが考えられます。 WolframAlphaなどのツールを使うと、以下の結果が得られます。

$\int \frac{1}{(1-x)\sqrt{x^2 + x + 1}} dx = -\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)-\frac{1}{\sqrt{3}} \text{arcsinh} \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+x+1}} \right) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{x-3}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} dx = \sqrt{x^2 + 2x + 3} - 4\sinh^{-1}\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right) + C$

(2) $\int \frac{1}{(1-x)\sqrt{x^2 + x + 1}} dx = -\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) - \frac{1}{\sqrt{3}} \text{arcsinh} \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+x+1}} \right) + C$