極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 3x - 1}{ax\sin 3x + b} = \frac{3}{4}$ が成り立つように、$a$と$b$の値を定める。

解析学極限三角関数テイラー展開不定形
2025/7/20

1. 問題の内容

極限 limx0cos3x1axsin3x+b=34\lim_{x \to 0} \frac{\cos 3x - 1}{ax\sin 3x + b} = \frac{3}{4} が成り立つように、aabbの値を定める。

2. 解き方の手順

まず、x0x \to 0 のとき、cos3x10\cos 3x - 1 \to 0 である。極限が存在するためには、分母も x0x \to 0 で0に収束する必要がある。したがって、
\lim_{x \to 0} (ax \sin 3x + b) = 0
より、b=0b = 0 である。
次に、b=0b=0を代入して、極限を計算する。
\lim_{x \to 0} \frac{\cos 3x - 1}{ax \sin 3x} = \frac{3}{4}
ここで、cos3x1=2sin23x2\cos 3x - 1 = -2\sin^2 \frac{3x}{2}であるから、
\lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2 \frac{3x}{2}}{ax \sin 3x} = \frac{3}{4}
さらに、sinxx\sin x \approx xx0x \to 0)を用いると、
\lim_{x \to 0} \frac{-2(\frac{3x}{2})^2}{ax(3x)} = \frac{3}{4}
\lim_{x \to 0} \frac{-2 \cdot \frac{9x^2}{4}}{3ax^2} = \frac{3}{4}
\frac{-2 \cdot \frac{9}{4}}{3a} = \frac{3}{4}
\frac{-\frac{9}{2}}{3a} = \frac{3}{4}
-\frac{9}{6a} = \frac{3}{4}
-\frac{3}{2a} = \frac{3}{4}
2a = -4
a = -2
したがって、a=2a = -2b=0b = 0である。

3. 最終的な答え

a=2a = -2, b=0b = 0

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