極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 3x - 1}{ax\sin 3x + b} = \frac{3}{4}$ が成り立つように、$a$と$b$の値を定める。
2025/7/20
1. 問題の内容
極限 が成り立つように、との値を定める。
2. 解き方の手順
まず、 のとき、 である。極限が存在するためには、分母も で0に収束する必要がある。したがって、
\lim_{x \to 0} (ax \sin 3x + b) = 0
より、 である。
次に、を代入して、極限を計算する。
\lim_{x \to 0} \frac{\cos 3x - 1}{ax \sin 3x} = \frac{3}{4}
ここで、であるから、
\lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2 \frac{3x}{2}}{ax \sin 3x} = \frac{3}{4}
さらに、 ()を用いると、
\lim_{x \to 0} \frac{-2(\frac{3x}{2})^2}{ax(3x)} = \frac{3}{4}
\lim_{x \to 0} \frac{-2 \cdot \frac{9x^2}{4}}{3ax^2} = \frac{3}{4}
\frac{-2 \cdot \frac{9}{4}}{3a} = \frac{3}{4}
\frac{-\frac{9}{2}}{3a} = \frac{3}{4}
-\frac{9}{6a} = \frac{3}{4}
-\frac{3}{2a} = \frac{3}{4}
2a = -4
a = -2
したがって、、である。
3. 最終的な答え
,