与えられた積分 $\int \frac{(\log x)^2}{x} dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{(\log x)^2}{x} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

この積分は、置換積分を用いて解くことができます。

まず、$u = \log x$ と置きます。

このとき、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$ となり、$du = \frac{1}{x} dx$ が得られます。

したがって、与えられた積分は次のように書き換えられます。

$\int (\log x)^2 \frac{1}{x} dx = \int u^2 du$

$u^2$ を $u$ について積分すると、

$\int u^2 du = \frac{1}{3}u^3 + C$

ここで、$C$は積分定数です。

最後に、$u = \log x$ を代入して、元の変数 $x$ に戻します。

$\frac{1}{3}u^3 + C = \frac{1}{3}(\log x)^3 + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{(\log x)^2}{x} dx = \frac{1}{3} (\log x)^3 + C$