曲線 $x = \sin t, y = t \cos t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $x = \sin t, y = t \cos t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sin t$ より $dx = \cos t dt$ である。

面積 $S$ は、

$$S = \int y dx = \int_{t=\pi/2}^{t=0} (t \cos t) (\cos t) dt = - \int_0^{\pi/2} t \cos^2 t dt$$

ここで、$\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$ を用いると、

$$S = - \int_0^{\pi/2} t \left(\frac{1 + \cos 2t}{2}\right) dt = - \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} (t + t \cos 2t) dt$$

$$S = - \frac{1}{2} \left[ \int_0^{\pi/2} t dt + \int_0^{\pi/2} t \cos 2t dt \right]$$

部分積分 $\int u v' dt = uv - \int u' v dt$ を用いて $\int t \cos 2t dt$ を計算する。

$u = t, v' = \cos 2t$ とすると、$u' = 1, v = \frac{1}{2} \sin 2t$ となる。

$$\int t \cos 2t dt = t \left(\frac{1}{2} \sin 2t \right) - \int 1 \cdot \frac{1}{2} \sin 2t dt = \frac{1}{2} t \sin 2t - \frac{1}{2} \int \sin 2t dt$$

$$\int t \cos 2t dt = \frac{1}{2} t \sin 2t - \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2} \cos 2t \right) = \frac{1}{2} t \sin 2t + \frac{1}{4} \cos 2t$$

したがって、

$$S = - \frac{1}{2} \left[ \frac{t^2}{2} \Big|_0^{\pi/2} + \left( \frac{1}{2} t \sin 2t + \frac{1}{4} \cos 2t \right) \Big|_0^{\pi/2} \right]$$

$$S = - \frac{1}{2} \left[ \frac{(\pi/2)^2}{2} - 0 + \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \sin \pi + \frac{1}{4} \cos \pi \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot \sin 0 + \frac{1}{4} \cos 0 \right) \right]$$

$$S = - \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi^2}{8} + \left( 0 - \frac{1}{4} \right) - \left( 0 + \frac{1}{4} \right) \right] = - \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi^2}{8} - \frac{1}{2} \right]$$

$$S = - \frac{\pi^2}{16} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - \frac{\pi^2}{16} = \frac{4 - \pi^2}{16}$$

面積なので正の値をとる必要があり、積分範囲に注意すると、

$$S = \int_{0}^{\pi/2} y \frac{dx}{dt} dt = \int_{0}^{\pi/2} (t\cos t) (\cos t) dt = \int_0^{\pi/2} t \cos^2 t dt = \frac{\pi^2}{16} + \frac{1}{4}(-1 - 1) = \frac{\pi^2}{16} - \frac{1}{4}$$

符号が逆になっているので、

$$$$

x= \sin t \\

dx = \cos t dt

$$$$

$$A = \int_{t=\pi/2}^{t=0} y dx = \int_{\pi/2}^{0} t\cos t \cos t dt= \int_{\pi/2}^{0} t \cos^2 t dt = -\int_{0}^{\pi/2} t\cos^2 t dt = -\int_{0}^{\pi/2} \frac{t(1+\cos 2t)}{2} dt$$

$$=-\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} t dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} t \cos 2t dt$$

$$=-\frac{1}{2} [ \frac{t^2}{2}]_{0}^{\pi/2} - \frac{1}{2} [ \frac{t sin2t }{2} + \frac{cos2t}{4}]_{0}^{\pi/2}$$

$$=-\frac{\pi^2}{16} - \frac{1}{2}[-\frac{1}{4} -\frac{1}{4}] = -\frac{\pi^2}{16} + \frac{1}{4}$$

3. 最終的な答え

$\frac{4-\pi^2}{16}$