$\int x \arctan(x) \, dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int x \arctan(x) \, dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて解くことができます。部分積分の公式は次の通りです。

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

ここで、$u = \arctan(x)$ と $dv = x \, dx$ を選びます。

すると、$du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$ と $v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}$ となります。

部分積分の公式に代入すると、

$\int x \arctan(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx$

$= \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx$

ここで、$\int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx$ を計算します。

$\frac{x^2}{1+x^2} = \frac{1+x^2-1}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$

したがって、

$\int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx = \int (1 - \frac{1}{1+x^2}) \, dx = \int 1 \, dx - \int \frac{1}{1+x^2} \, dx = x - \arctan(x) + C$

これを代入すると、

$\int x \arctan(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{1}{2} (x - \arctan(x)) + C$

$= \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \arctan(x) + C$

$= \frac{x^2+1}{2} \arctan(x) - \frac{x}{2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2+1}{2} \arctan(x) - \frac{x}{2} + C$