与えられた関数 $f(x) = \sqrt[3]{\frac{(\log x)^2}{x}}$ の導関数を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \sqrt[3]{\frac{(\log x)^2}{x}}$ の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数を整理します。

$f(x) = \left( \frac{(\log x)^2}{x} \right)^{\frac{1}{3}}$

対数微分法を用いるために、両辺の自然対数を取ります。

$\log f(x) = \frac{1}{3} \log \left( \frac{(\log x)^2}{x} \right)$

$\log f(x) = \frac{1}{3} \left( \log ((\log x)^2) - \log x \right)$

$\log f(x) = \frac{1}{3} \left( 2 \log (\log x) - \log x \right)$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{3} \left( 2 \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{x} \right)$

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{3x} \left( \frac{2}{\log x} - 1 \right)$

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{3x} \left( \frac{2 - \log x}{\log x} \right)$

$f'(x) = f(x) \cdot \frac{2 - \log x}{3x \log x}$

$f'(x) = \left( \frac{(\log x)^2}{x} \right)^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{2 - \log x}{3x \log x}$

$f'(x) = \frac{(\log x)^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2 - \log x}{3x \log x}$

$f'(x) = \frac{2 - \log x}{3x^{\frac{4}{3}} (\log x)^{\frac{1}{3}}}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{2 - \log x}{3x^{\frac{4}{3}} (\log x)^{\frac{1}{3}}}$