$\int x(2x+1)^8 dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int x(2x+1)^8 dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。

$u = x$ と $dv = (2x+1)^8 dx$ とおくと、

$du = dx$ であり、

$v = \int (2x+1)^8 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} (2x+1)^9 = \frac{1}{18}(2x+1)^9$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int x(2x+1)^8 dx = x \cdot \frac{1}{18}(2x+1)^9 - \int \frac{1}{18}(2x+1)^9 dx$

$= \frac{1}{18}x(2x+1)^9 - \frac{1}{18} \int (2x+1)^9 dx$

$\int (2x+1)^9 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10} (2x+1)^{10} = \frac{1}{20} (2x+1)^{10}$

よって、

$\int x(2x+1)^8 dx = \frac{1}{18}x(2x+1)^9 - \frac{1}{18} \cdot \frac{1}{20}(2x+1)^{10} + C$

$= \frac{1}{18}x(2x+1)^9 - \frac{1}{360}(2x+1)^{10} + C$

$= \frac{1}{360} (2x+1)^9 [20x - (2x+1)] + C$

$= \frac{1}{360} (2x+1)^9 (18x - 1) + C$

3. 最終的な答え

$\int x(2x+1)^8 dx = \frac{1}{360} (2x+1)^9 (18x - 1) + C$