与えられた3つの関数を積分する問題です。 (1) $\frac{1}{x^2 - 9}$ (2) $\frac{x^2 + a^2}{x+a}$ (ただし、$a \neq 0$) (3) $\frac{x^2 + 5}{(x+1)^4}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数を積分する問題です。

(1) $\frac{1}{x^2 - 9}$

(2) $\frac{x^2 + a^2}{x+a}$ (ただし、$a \neq 0$)

(3) $\frac{x^2 + 5}{(x+1)^4}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{x^2 - 9}$ の積分

まず、部分分数分解を行います。$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ なので、

$\frac{1}{x^2 - 9} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+3}$

とおきます。両辺に$(x-3)(x+3)$をかけると、

$1 = A(x+3) + B(x-3)$

となります。

$x = 3$ のとき、$1 = 6A$ より $A = \frac{1}{6}$

$x = -3$ のとき、$1 = -6B$ より $B = -\frac{1}{6}$

よって、$\frac{1}{x^2 - 9} = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x+3} \right)$

したがって、積分は

$\int \frac{1}{x^2 - 9} dx = \frac{1}{6} \int \left( \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x+3} \right) dx = \frac{1}{6} (\ln|x-3| - \ln|x+3|) + C = \frac{1}{6} \ln \left| \frac{x-3}{x+3} \right| + C$

(2) $\frac{x^2 + a^2}{x+a}$ の積分

まず、分子を分母で割ります。

$x^2 + a^2 = (x+a)(x-a) + 2a^2$

よって、$\frac{x^2 + a^2}{x+a} = x-a + \frac{2a^2}{x+a}$

したがって、積分は

$\int \frac{x^2 + a^2}{x+a} dx = \int \left( x-a + \frac{2a^2}{x+a} \right) dx = \frac{x^2}{2} - ax + 2a^2 \ln|x+a| + C$

(3) $\frac{x^2 + 5}{(x+1)^4}$ の積分

$x+1 = t$ と置換すると、$x = t-1$ となり、$x^2 = t^2 - 2t + 1$

よって、$\frac{x^2 + 5}{(x+1)^4} = \frac{t^2 - 2t + 6}{t^4} = \frac{1}{t^2} - \frac{2}{t^3} + \frac{6}{t^4}$

したがって、積分は

$\int \frac{x^2 + 5}{(x+1)^4} dx = \int \left( \frac{1}{t^2} - \frac{2}{t^3} + \frac{6}{t^4} \right) dt = -\frac{1}{t} + \frac{1}{t^2} - \frac{2}{t^3} + C = -\frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{2}{(x+1)^3} + C$

$= \frac{-(x+1)^2 + (x+1) - 2}{(x+1)^3} + C = \frac{-(x^2+2x+1) + x + 1 - 2}{(x+1)^3} + C = \frac{-x^2 - x - 2}{(x+1)^3} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6} \ln \left| \frac{x-3}{x+3} \right| + C$

(2) $\frac{x^2}{2} - ax + 2a^2 \ln|x+a| + C$

(3) $\frac{-x^2 - x - 2}{(x+1)^3} + C$