1から4の数字が書かれた4つの球が入った袋から、1つ球を取り出す試行を3回行う。取り出した球は元に戻す。1と書かれた球を取り出した回数を$X$とする。$X$の確率分布を求める。表の空欄（イウ、エオ、カ、キ）を埋める問題です。

1. 問題の内容

1から4の数字が書かれた4つの球が入った袋から、1つ球を取り出す試行を3回行う。取り出した球は元に戻す。1と書かれた球を取り出した回数を$X$とする。$X$の確率分布を求める。表の空欄（イウ、エオ、カ、キ）を埋める問題です。

2. 解き方の手順

1の球を取り出す確率 $p = \frac{1}{4}$

1の球を取り出さない確率 $q = 1 - p = \frac{3}{4}$

$X$は二項分布に従うので、$X=k$となる確率$P(X=k)$は、以下の式で計算できる。

$P(X=k) = {}_3C_k p^k q^{3-k}$

各$k$について計算する。

$X=0$のとき:

$P(X=0) = {}_3C_0 (\frac{1}{4})^0 (\frac{3}{4})^3 = 1 \times 1 \times \frac{27}{64} = \frac{27}{64}$

よって、イウ = 27

$X=1$のとき:

$P(X=1) = {}_3C_1 (\frac{1}{4})^1 (\frac{3}{4})^2 = 3 \times \frac{1}{4} \times \frac{9}{16} = \frac{27}{64}$

よって、エオ = 27

$X=2$のとき:

$P(X=2) = {}_3C_2 (\frac{1}{4})^2 (\frac{3}{4})^1 = 3 \times \frac{1}{16} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{64}$

よって、カ = 9

$X=3$のとき:

$P(X=3) = {}_3C_3 (\frac{1}{4})^3 (\frac{3}{4})^0 = 1 \times \frac{1}{64} \times 1 = \frac{1}{64}$

よって、キ = 1

3. 最終的な答え

X | 0 | 1 | 2 | 3

---|---|---|---|---

P | 27/64 | 27/64 | 9/64 | 1/64