三角形ABCにおいて、$AB = 5$, $BC = 8$, $\angle B = 60^\circ$ のとき、以下のものを求めます。 (1) 三角形ABCの面積S (2) 線分ACの長さ (3) 三角形ABCの内接円の半径r

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 5$, $BC = 8$, $\angle B = 60^\circ$ のとき、以下のものを求めます。

(1) 三角形ABCの面積S

(2) 線分ACの長さ

(3) 三角形ABCの内接円の半径r

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積Sを求める。

三角形の面積の公式 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ を利用します。

$S = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin B = \frac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sin 60^\circ$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、

$S = \frac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

(2) 線分ACの長さを求める。

余弦定理を利用します。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos B$

$AC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \times 5 \times 8 \times \cos 60^\circ$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ より、

$AC^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac{1}{2} = 25 + 64 - 40 = 89 - 40 = 49$

$AC = \sqrt{49} = 7$

(3) 三角形ABCの内接円の半径rを求める。

三角形の面積Sを、$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ で表すことができます。ここで、$a, b, c$ は三角形の辺の長さ、$r$は内接円の半径です。

$S = 10\sqrt{3}$, $a = 8, b = 7, c = 5$ より、

$10\sqrt{3} = \frac{1}{2}r(8+7+5) = \frac{1}{2}r(20) = 10r$

$r = \frac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}$

別解：

正弦定理を利用して外接円の半径Rを求める

$\frac{AC}{\sin B} = 2R$

$\frac{7}{\sin 60^\circ} = 2R$

$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$2R = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

$R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

内接円の半径rは、$r = \frac{2S}{a+b+c}$を用いて求めます。

$r = \frac{2 \times 10\sqrt{3}}{5+8+7} = \frac{20\sqrt{3}}{20} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) 三角形ABCの面積S: $10\sqrt{3}$

(2) 線分ACの長さ: 7

(3) 三角形ABCの内接円の半径r: $\sqrt{3}$