AさんとBさんが1から7の数字が書かれた7枚のカードを使ってゲームを行います。 - 2人は交互にカードを1枚ずつ2回ずつ取り、最後に3枚のカードを残します。 - Aさんは、最後に残る3枚のカードの数の和が3の倍数にならないように、Bさんは3の倍数になるようにカードを取ります。 (1) 3回目にAさんがカードを取り終えたとき、残りのカードが1,3,4,7の4枚でした。このとき、次にBさんはどのカードを取れば良いでしょうか？ (2) 2回目にBさんがカードを取り終えたとき、残りのカードが1,3,5,6,7の5枚でした。次にAさんが、あるカードを取れば、その後Bさんがどのカードを取っても、最後に残る3枚のカードに書かれている数の和が3の倍数にならない。Aさんはどのカードを取れば良いか、また、その理由を3で割った余りに着目して説明してください。

1. 問題の内容

AさんとBさんが1から7の数字が書かれた7枚のカードを使ってゲームを行います。

- 2人は交互にカードを1枚ずつ2回ずつ取り、最後に3枚のカードを残します。

- Aさんは、最後に残る3枚のカードの数の和が3の倍数にならないように、Bさんは3の倍数になるようにカードを取ります。

(1) 3回目にAさんがカードを取り終えたとき、残りのカードが1,3,4,7の4枚でした。このとき、次にBさんはどのカードを取れば良いでしょうか？

(2) 2回目にBさんがカードを取り終えたとき、残りのカードが1,3,5,6,7の5枚でした。次にAさんが、あるカードを取れば、その後Bさんがどのカードを取っても、最後に残る3枚のカードに書かれている数の和が3の倍数にならない。Aさんはどのカードを取れば良いか、また、その理由を3で割った余りに着目して説明してください。

2. 解き方の手順

(1)

残ったカード1,3,4,7の合計は $1+3+4+7 = 15$ です。Bさんが1枚取った後、Aさんを取る番が回ってきた時に残りの3枚の合計が3の倍数になるようにBさんはカードを取る必要があります。Bさんが取るカードごとに残る3枚の合計を計算します。

- Bさんが1を取った場合：残りの合計は$3+4+7 = 14$ (3で割ると余り2)

- Bさんが3を取った場合：残りの合計は$1+4+7 = 12$ (3で割ると余り0)

- Bさんが4を取った場合：残りの合計は$1+3+7 = 11$ (3で割ると余り2)

- Bさんが7を取った場合：残りの合計は$1+3+4 = 8$ (3で割ると余り2)

Bさんが3を取った場合、残りの3枚のカードの和が3の倍数となります。

したがって、Bさんは3のカードを取る必要があります。

(2)

残ったカード1,3,5,6,7を3で割った余りはそれぞれ、1,0,2,0,1です。

これらのカードの合計は$1+3+5+6+7 = 22$ です。Aさんが1枚取った後、Bさんがどのカードを取っても、残りの3枚のカードの合計が3の倍数にならないようにAさんはカードを取る必要があります。つまりAさんが1枚取った後、残るカードの合計が3の倍数ではない必要があります。

それぞれのケースを考えます。

- Aさんが1を取った場合：残りは3,5,6,7。合計は21。Bさんが3を取った場合残りは5,6,7。和は18。3の倍数になってしまう。

- Aさんが3を取った場合：残りは1,5,6,7。合計は19。Bさんが1を取った場合残りは5,6,7。和は18。3の倍数になってしまう。

- Aさんが5を取った場合：残りは1,3,6,7。合計は17。Bさんが1を取った場合残りは3,6,7。和は16。3の倍数にならない。

- Aさんが6を取った場合：残りは1,3,5,7。合計は16。Bさんが1を取った場合残りは3,5,7。和は15。3の倍数になってしまう。

- Aさんが7を取った場合：残りは1,3,5,6。合計は15。Bさんが1を取った場合残りは3,5,6。和は14。3の倍数にならない。

Aさんが5を取った場合、残りのカードの合計が17となり、これは3の倍数ではありません。

このとき、残りのカードは1,3,6,7で、3で割った余りはそれぞれ、1,0,0,1です。

- Bさんが1を取った場合：残りは3,6,7で、合計は16 (余り1)。

- Bさんが3を取った場合：残りは1,6,7で、合計は14 (余り2)。

- Bさんが6を取った場合：残りは1,3,7で、合計は11 (余り2)。

- Bさんが7を取った場合：残りは1,3,6で、合計は10 (余り1)。

Bがどのカードを取っても、残るカードの和は3の倍数になりません。

Aさんが7を取った場合、残りのカードの合計が15となり、これは3の倍数です。なのでBがどのカードを選んだとしてもAが残る3枚の合計を3の倍数以外にできません。

このとき、残りのカードは1,3,5,6で、3で割った余りはそれぞれ、1,0,2,0です。

- Bさんが1を取った場合：残りは3,5,6で、合計は14 (余り2)。

- Bさんが3を取った場合：残りは1,5,6で、合計は12 (余り0)。

- Bさんが5を取った場合：残りは1,3,6で、合計は10 (余り1)。

- Bさんが6を取った場合：残りは1,3,5で、合計は9 (余り0)。

Aさんは5を取るべきです。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 5, 理由は上記参照。