与えられた2変数多項式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ についての2次式として整理します。

$2x^2 + (5y + 4)x + (2y^2 - y - 6)$

次に、定数項 $2y^2 - y - 6$ を因数分解します。

$2y^2 - y - 6 = (2y + 3)(y - 2)$

これを用いて、全体の式を因数分解できる形を探します。

$2x^2 + (5y + 4)x + (2y + 3)(y - 2) = (ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形になると仮定します。

$2x^2$の項から、$a$と$d$は$a \times d = 2$を満たします。$a=2, d=1$と仮定してみます。

定数項から、$c \times f = -6$を満たす必要があります。 $(2y+3)(y-2)$に着目すると、$b=2$, $e=1$, $c=3$, $f=-2$を与えてみます。

$(2x + y -2)(x + 2y + 3) = 2x^2 + 4xy + 6x + xy + 2y^2 + 3y - 4x - 2y - 6 = 2x^2 + 5xy + 2y^2 + 2x + y - 6$

これは問題の多項式と一致しません。

$(2x + 2y + 3)(x + y - 2) = 2x^2 + 2xy - 4x + 2xy + 2y^2 - 4y + 3x + 3y - 6 = 2x^2 + 4xy + 2y^2 -x -y -6$

これも問題の多項式と一致しません。

もう一度、$2y^2 - y - 6 = (2y + 3)(y - 2)$を利用して、$5xy + 4x - y = 5xy + 4x - y$ を作り出せる組み合わせを考えます。

$(2x + y + a)(x + 2y + b) = 2x^2 + 5xy + 2y^2 + (2b + 1)x + (a + 4)y + ab$

$2b+a = 4$ かつ $a+4b = -1$ を満たす$a$と$b$を求めます。

$2b+a=4$　より　$a=4-2b$

$4-2b+4b=-1$

$2b = -5$

$b=-5/2$

$a = 4+5 = 9$

うまくいきません。

再度検討します。

与式は $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$ です。

$2x^2 + 5xy + 2y^2 = (2x+y)(x+2y)$ です。

したがって、$(2x+y+A)(x+2y+B)$とおけます。

展開すると$2x^2 + 5xy + 2y^2 + (2B+A)x + (B+2A)y + AB$となります。

係数を比較して、$2B+A = 4$、$B+2A = -1$、$AB=-6$を満たす$A, B$を見つけます。

$A=4-2B$を$B+2A=-1$に代入すると$B+2(4-2B)=-1$、$B+8-4B = -1$、$-3B=-9$、$B=3$

$A=4-2(3) = -2$

$AB = 3(-2) = -6$

したがって、$A=-2$、$B=3$

因数分解の結果は、 $(2x + y - 2)(x + 2y + 3)$ となります。

3. 最終的な答え

$(2x + y - 2)(x + 2y + 3)$