問題は、線形代数学 I の期末テスト問題であり、主に線形変換、固有値、固有ベクトル、写像などに関する問題が出題されています。

## 線形代数学 I 期末テスト問題の解答

1. 問題の内容

問題は、線形代数学 I の期末テスト問題であり、主に線形変換、固有値、固有ベクトル、写像などに関する問題が出題されています。

2. 解き方の手順

以下、問題ごとに解き方と解答を示します。

**問題3**

(1) $A+B-3C$ の計算

行列の和とスカラー倍の定義に従い計算します。

$A+B-3C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+4-0 & 1+1+3 \\ -1-2+6 & 3+2-18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 3 & -13 \end{pmatrix}$

(2) $AB$ の計算

行列の積の定義に従い計算します。

$AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot4 + 1\cdot(-2) & 2\cdot1 + 1\cdot2 \\ -1\cdot4 + 3\cdot(-2) & -1\cdot1 + 3\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ -10 & 5 \end{pmatrix}$

(3) $BC$ の行列式の計算

まず、$BC$を計算します。

$BC = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot0 + 1\cdot(-2) & 4\cdot(-1) + 1\cdot6 \\ -2\cdot0 + 2\cdot(-2) & -2\cdot(-1) + 2\cdot6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -4 & 14 \end{pmatrix}$

次に、$BC$ の行列式を計算します。

$det(BC) = (-2)\cdot14 - 2\cdot(-4) = -28 + 8 = -20$

**問題4**

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求めます。

固有値を求めるために、特性方程式 $det(A - \lambda I) = 0$ を解きます。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 2-\lambda \end{pmatrix}$

$det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(2-\lambda) - 2\cdot3 = \lambda^2 - 3\lambda - 4 = (\lambda - 4)(\lambda + 1) = 0$

固有値は $\lambda_1 = 4$ と $\lambda_2 = -1$ です。

次に、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 4$ のとき:

$(A - 4I)v_1 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-3x + 2y = 0$ より $y = \frac{3}{2}x$。

固有ベクトル $v_1 = c_1\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ ($c_1$ は任意のスカラー)。

$\lambda_2 = -1$ のとき:

$(A + I)v_2 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x + 2y = 0$ より $y = -x$。

固有ベクトル $v_2 = c_2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ ($c_2$ は任意のスカラー)。

**問題5**

行列 $A = \begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ の定める1次変換を $f$ とします。

(1) 点 $(1,1)$ の $f$ による像を求めます。

$f\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}$

(2) 直線 $x - y = 0$ の $f$ による像を求めます。

$x - y = 0$ より $y = x$。直線上の点は $\begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix}$ と表せます。

$f\begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x \\ -x \end{pmatrix}$

$f$ による像は $\begin{pmatrix} -3x \\ -x \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}$ です。これは原点を通る直線 $y = \frac{1}{3}x$ です。

(3) 零ベクトル $\vec{0}$ の $f$ による逆像を求めます。

$A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ となる $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を求めます。

$\begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$6x - 9y = 0$ より $y = \frac{2}{3}x$。

零ベクトルの逆像は直線 $y = \frac{2}{3}x$ です。

(4) $f$ は 1 対 1 対応 (全単射) であるかどうか判定します。

$det(A) = 6\cdot(-3) - (-9)\cdot2 = -18 + 18 = 0$ より、$A$ は正則行列ではありません。したがって、$f$ は 1 対 1 対応ではありません。

**問題7**

(1) $\vec{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ に対して、$f(\vec{e_2})$、$g(\vec{e_2})$ をそれぞれ求めます。

$f$ は x 軸に関する折り返しなので、$f(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ です。

$g$ は直線 $y = x$ に関する折り返しなので、$g(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ です。

(2) 1 次変換 $f \circ g$ を表わす行列を求めます。

$f$ は行列 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ で表され、$g$ は行列 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ で表されます。

$f \circ g$ は行列 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ で表されます。

**問題8**

(1) 原点を中心として $\theta$ だけ回転させる平面上の 1 次変換を表わす行列は $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ です。

(2) $2 \times 2$ 対称行列の例を二つ挙げます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

(3) 零行列でない $2 \times 2$ 行列 $A$ で、$A^2 = O$ を満たす例を一つ挙げます。

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

問題３：

(1) $\begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 3 & -13 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 6 & 4 \\ -10 & 5 \end{pmatrix}$

(3) -20

問題４：

固有値: 4, -1

固有ベクトル: $c_1\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $c_2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

問題５：

(1) $\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}$

(2) $y = \frac{1}{3}x$

(3) $y = \frac{2}{3}x$

(4) 1対1対応ではない

問題７：

(1) $f(\vec{e_2}) = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$、$g(\vec{e_2}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

問題８：

(1) $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$