問題は、2次不等式 $ax^2 + 4x + a + 3 > 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つような、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。ただし、$a > 0$ とします。

1. 問題の内容

問題は、2次不等式 $ax^2 + 4x + a + 3 > 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つような、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。ただし、$a > 0$ とします。

2. 解き方の手順

2次不等式 $ax^2 + 4x + a + 3 > 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つためには、以下の2つの条件を満たす必要があります。

* $a > 0$ (すでに与えられています)

* 2次方程式 $ax^2 + 4x + a + 3 = 0$ が実数解を持たない、つまり、判別式 $D$ が $D < 0$ を満たす。

判別式 $D$ は、

$D = 4^2 - 4 \cdot a \cdot (a + 3) = 16 - 4a(a + 3) = 16 - 4a^2 - 12a$

$D < 0$ となるためには、

$16 - 4a^2 - 12a < 0$

$-4a^2 - 12a + 16 < 0$

$4a^2 + 12a - 16 > 0$

$a^2 + 3a - 4 > 0$

$(a + 4)(a - 1) > 0$

この不等式を満たす $a$ の範囲は、$a < -4$ または $a > 1$ です。

ただし、$a > 0$ の条件があるので、$a < -4$ は不適です。

したがって、$a > 1$ が求める範囲となります。

3. 最終的な答え

$a > 1$