関数 $y = ax + b$ について、以下の2つの条件が与えられています。 (2) $0 \le x \le 2$ のとき、$-3 \le y \le 3$ (3) $2 < x \le 4$ のとき、$1 \le y < 5$

1. 問題の内容

関数 $y = ax + b$ について、以下の2つの条件が与えられています。

(2) $0 \le x \le 2$ のとき、$-3 \le y \le 3$

(3) $2 < x \le 4$ のとき、$1 \le y < 5$

2. 解き方の手順

まず、(2)の条件から、$x=0$と$x=2$のときの$y$の値を考えます。$y = ax + b$に代入すると、

$y(0) = a(0) + b = b$

$y(2) = a(2) + b = 2a + b$

$y(0)$と$y(2)$が$-3$と$3$のどちらになるかで場合分けします。

**場合1:** $y(0) = b = -3$ かつ $y(2) = 2a + b = 3$ のとき

$2a + (-3) = 3$

$2a = 6$

$a = 3$

このとき、$y = 3x - 3$ となり、$x=2$のとき、$y=3$を満たします。

**場合2:** $y(0) = b = 3$ かつ $y(2) = 2a + b = -3$ のとき

$2a + 3 = -3$

$2a = -6$

$a = -3$

このとき、$y = -3x + 3$ となり、$x=2$のとき、$y=-3$を満たします。

次に、(3)の条件から、$x$が2より少し大きく4以下の時の$y$の値を考えます。$y = ax + b$に代入すると、

$x=4$のとき、$y(4) = 4a + b < 5$かつ$y(4) \ge 1$

**場合1:** $a=3, b=-3$ のとき

$y = 3x - 3$

$x=4$のとき、$y(4) = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9$

しかし、これは $1 \le y < 5$を満たさないため、不適。

**場合2:** $a=-3, b=3$ のとき

$y = -3x + 3$

$x=4$のとき、$y(4) = -3(4) + 3 = -12 + 3 = -9$

しかし、これは $1 \le y < 5$を満たさないため、不適。

それでは、$x=2$の時の$y$の値が1になるパターンを考えます。

$2a+b=1$

$x=4$の時の$y$の値が5より小さい値になるパターンを考えます。

$4a+b=y < 5$

$y = ax+b$において$y$が最小値と最大値をとる$x$の組み合わせは、

($0,2$)($,4$)($4,2$) ($2,0$)($4,0$) ($0,4$)

(2)の時$x = 0$で$y=3$、　$x = 2$で$y=-3$

(3)の時$x = 2$で$y=1$ $x = 4$で$y=5$より小さい

となる時の係数$a$と$b$を求めます。

(2)から

$b=3$

$2a+b=-3$より

$2a+3=-3$

$2a=-6$

$a=-3$

(3)に代入

$2a+b=1$

$4a+b<5$

$b=1-2a$

$4a+1-2a<5$

$2a<4$

$a<2$

(2)から

$b=-3$

$2a+b=3$より

$2a-3=3$

$2a=6$

$a=3$

(3)に代入

$2a+b=1$

$4a+b<5$

$b=1-2a$

$4a+1-2a<5$

$2a<4$

$a<2$

連立方程式を解く

$y(2) = 2a + b = 1$

$y(4) = 4a + b < 5$

$y(4) = 4a + b \ge 1$

$y(2) = 2a + b = 5$

3. 最終的な答え

この問題は a,bの値を特定することができません。

条件を満たす変数の範囲を求める問題だと考えられます。

$a<2$