画像には、複素数の相等、複素数の計算、平方根の計算の問題が含まれています。具体的には、以下の問題があります。 1. 実数 $x$, $y$ の値を求める問題 (2問)

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

画像には、複素数の相等、複素数の計算、平方根の計算の問題が含まれています。具体的には、以下の問題があります。

1. 実数 $x$, $y$ の値を求める問題 (2問)

2. 複素数の四則演算を行う問題 (8問)

3. 平方根の計算を行う問題 (4問)

2. 解き方の手順

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1. 実数 $x$, $y$ の値を求める問題**

(1) $(x-y) + (x+2y)i = 7-5i$

複素数の相等より、実部と虚部がそれぞれ等しいので、

$x - y = 7$

$x + 2y = -5$

この連立方程式を解きます。上の式から下の式を引くと、 $-3y = 12$ より $y = -4$。

これを上の式に代入すると、$x - (-4) = 7$ より $x = 3$。

(2) $(3-i)x + (2+i)y = 4-3i$

展開して整理すると、

$(3x + 2y) + (-x + y)i = 4 - 3i$

複素数の相等より、

$3x + 2y = 4$

$-x + y = -3$

下の式を2倍して上の式に足すと、

$3x + 2y + 2(-x + y) = 4 + 2(-3)$

$x + 4y = -2$

$-x + y = -3$ と $x + 4y = -2$ より、足し合わせると $5y = -5$ となり、$y = -1$。

これを $-x + y = -3$ に代入すると、$-x - 1 = -3$ より $x = 2$。

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2. 複素数の四則演算を行う問題**

(1) $(4 - 2i) - (3 - 6i) = 4 - 2i - 3 + 6i = 1 + 4i$

(2) $(5 + 2i)^2 = (5 + 2i)(5 + 2i) = 25 + 20i + 4i^2 = 25 + 20i - 4 = 21 + 20i$

(3) $(-1 + 2i)(-1 - 2i) = (-1)^2 - (2i)^2 = 1 - (-4) = 1 + 4 = 5$

(4) $(3 - 4i)(2 + i) = 6 + 3i - 8i - 4i^2 = 6 - 5i + 4 = 10 - 5i$

(5) $i^6 = (i^2)^3 = (-1)^3 = -1$

(6) $(1 + i)^3 = (1 + i)^2(1 + i) = (1 + 2i + i^2)(1 + i) = (1 + 2i - 1)(1 + i) = 2i(1 + i) = 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i$

(7) $\frac{3 - i}{1 + i} = \frac{(3 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{3 - 3i - i + i^2}{1 - i^2} = \frac{3 - 4i - 1}{1 - (-1)} = \frac{2 - 4i}{2} = 1 - 2i$

(8) $\frac{15 + 10i}{1 + 2i} = \frac{(15 + 10i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{15 - 30i + 10i - 20i^2}{1 - 4i^2} = \frac{15 - 20i + 20}{1 + 4} = \frac{35 - 20i}{5} = 7 - 4i$

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3. 平方根の計算を行う問題**

(1) $\sqrt{-10} \times \sqrt{-5} = \sqrt{10}i \times \sqrt{5}i = \sqrt{50}i^2 = 5\sqrt{2}(-1) = -5\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{-4} \times \sqrt{-8} = 2i \times 2\sqrt{2}i = 4\sqrt{2}i^2 = -4\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{-12} + \sqrt{-27} = 2\sqrt{3}i + 3\sqrt{3}i = 5\sqrt{3}i$

(4) $\sqrt{-2} \times \sqrt{-16} \div \sqrt{-8} = \sqrt{2}i \times 4i \div 2\sqrt{2}i = \frac{4\sqrt{2}i^2}{2\sqrt{2}i} = \frac{4\sqrt{2}(-1)}{2\sqrt{2}i} = \frac{-4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}i} = \frac{-2}{i} = \frac{-2i}{i^2} = \frac{-2i}{-1} = 2i$

3. 最終的な答え

1. (1) $x = 3$, $y = -4$ (2) $x = 2$, $y = -1$

2. (1) $1 + 4i$ (2) $21 + 20i$ (3) $5$ (4) $10 - 5i$ (5) $-1$ (6) $-2 + 2i$ (7) $1 - 2i$ (8) $7 - 4i$

3. (1) $-5\sqrt{2}$ (2) $-4\sqrt{2}$ (3) $5\sqrt{3}i$ (4) $2i$