第2項が6で、初項から第3項までの和が21である等比数列の初項と公比を求める。

1. 問題の内容

第2項が6で、初項から第3項までの和が21である等比数列の初項と公比を求める。

2. 解き方の手順

初項を $a$、公比を $r$ とします。

第2項が6であることから、

$ar = 6$ ...(1)

初項から第3項までの和が21であることから、

$a + ar + ar^2 = 21$ ...(2)

(1)より、$a = \frac{6}{r}$

これを(2)に代入すると、

$\frac{6}{r} + 6 + 6r = 21$

$\frac{6}{r} + 6r = 15$

両辺に $r$ をかけると、

$6 + 6r^2 = 15r$

$6r^2 - 15r + 6 = 0$

$2r^2 - 5r + 2 = 0$

$(2r - 1)(r - 2) = 0$

よって、$r = \frac{1}{2}, 2$

$r = \frac{1}{2}$ のとき、(1)より $a \cdot \frac{1}{2} = 6$ なので $a = 12$

$r = 2$ のとき、(1)より $a \cdot 2 = 6$ なので $a = 3$

3. 最終的な答え

初項 $12$, 公比 $\frac{1}{2}$

または

初項 $3$, 公比 $2$