$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ とする。 (1) $a$の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a$の小数部分を$b$とするとき、$b$の値を求めよ。また、$a^2 - b^2$の値を求めよ。 (3) $b$を(2)で求めた値とし、$p$は定数とする。$x$についての不等式 $p \le x < p + 4b$ を満たす整数$x$が全部で3個あり、その3個の整数の和が0となるような$p$の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ とする。

(1) $a$の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a$の小数部分を$b$とするとき、$b$の値を求めよ。また、$a^2 - b^2$の値を求めよ。

(3) $b$を(2)で求めた値とし、$p$は定数とする。$x$についての不等式 $p \le x < p + 4b$ を満たす整数$x$が全部で3個あり、その3個の整数の和が0となるような$p$の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$の分母を有理化する。

$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})} = \frac{3+2\sqrt{2}}{9-8} = 3+2\sqrt{2}$

(2) $a = 3+2\sqrt{2}$より、$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ であり、$2 < \sqrt{8} < 3$ なので、$5 < 3+2\sqrt{2} < 6$。したがって、$a$ の整数部分は5である。

小数部分$b$は $a - 5 = 3 + 2\sqrt{2} - 5 = 2\sqrt{2} - 2$

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) = (3+2\sqrt{2}+2\sqrt{2}-2)(3+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}+2) = (1+4\sqrt{2})(5) = 5+20\sqrt{2}$

(3) $b = 2\sqrt{2}-2$ より、$4b = 8\sqrt{2}-8$。

不等式 $p \le x < p+4b$ を満たす整数$x$が3個あり、その和が0であることから、3個の整数は $-1, 0, 1$ である必要がある。

したがって、$-1 \ge p$ かつ $1 < p+4b$ である必要がある。また、$2 \ge p+4b$ である必要がある。

$-1 \ge p$ より、$p \le -1$

$1 < p + 4b = p + 8\sqrt{2} - 8$ より、$9 - 8\sqrt{2} < p$

$p + 4b = p + 8\sqrt{2} - 8 \le 2$ より、$p \le 10 - 8\sqrt{2}$

$1.4 < \sqrt{2} < 1.5$ より、$11.2 < 8\sqrt{2} < 12$ であるから、$-3 < 9-8\sqrt{2} < -2.2$

$10 - 8\sqrt{2} \approx 10 - 8 \times 1.414 = 10 - 11.312 = -1.312$

したがって、$-3 < 9 - 8\sqrt{2} < p \le -1$

不等式を満たす整数が-1, 0, 1なので

$p \le -1 < p + 4b$, $p \le 0 < p + 4b$, $p \le 1 < p+4b$, $2 \ge p+4b$

$-1 < p+4b \le 2$ より $-1 < p + 8\sqrt{2}-8 \le 2$

$7-8\sqrt{2} < p \le 10-8\sqrt{2}$

$1 < p+4b$ かつ $2 \ge p+4b$ なので、

$p \le -1$ と $p > 7-8\sqrt{2}$ を満たす必要がある。

また、$p \le 10 - 8\sqrt{2}$ である必要がある。

$p \le 10 - 8\sqrt{2} < 0$ であるから、条件を満たしている。

$7-8\sqrt{2} < p \le -1$

3. 最終的な答え

$7-8\sqrt{2} < p \le -1$