数列 $\{a_n\}$ は等差数列、数列 $\{b_n\}$ は公比が正の等比数列であり、$a_1 = 1, b_1 = 3$、$a_2 + 2b_2 = 21$、$a_4 + 2b_4 = 169$ を満たすとする。 (1) 一般項 $a_n$ と $b_n$ を求めよ。 (2) $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k}$ を求めよ。

代数学数列等差数列等比数列級数シグマ
2025/7/20

1. 問題の内容

数列 {an}\{a_n\} は等差数列、数列 {bn}\{b_n\} は公比が正の等比数列であり、a1=1,b1=3a_1 = 1, b_1 = 3a2+2b2=21a_2 + 2b_2 = 21a4+2b4=169a_4 + 2b_4 = 169 を満たすとする。
(1) 一般項 ana_nbnb_n を求めよ。
(2) Sn=k=1nakbkS_n = \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k} を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 一般項 ana_nbnb_n を求める。
等差数列 {an}\{a_n\} の公差を dd、等比数列 {bn}\{b_n\} の公比を rr とすると、
an=a1+(n1)d=1+(n1)da_n = a_1 + (n-1)d = 1 + (n-1)d
bn=b1rn1=3rn1b_n = b_1 r^{n-1} = 3r^{n-1}
与えられた条件より、a2+2b2=21a_2 + 2b_2 = 21a4+2b4=169a_4 + 2b_4 = 169 であるから、
a2=1+da_2 = 1 + d
b2=3rb_2 = 3r
a4=1+3da_4 = 1 + 3d
b4=3r3b_4 = 3r^3
よって、
1+d+2(3r)=211 + d + 2(3r) = 21
1+3d+2(3r3)=1691 + 3d + 2(3r^3) = 169
整理すると、
d+6r=20d + 6r = 20 ...(1)
3d+6r3=1683d + 6r^3 = 168
d+2r3=56d + 2r^3 = 56 ...(2)
(2) - (1) より、
2r36r=362r^3 - 6r = 36
r33r=18r^3 - 3r = 18
r33r18=0r^3 - 3r - 18 = 0
(r3)(r2+3r+6)=0(r - 3)(r^2 + 3r + 6) = 0
rr は実数であるから、r=3r = 3
(1) に r=3r = 3 を代入すると、
d+6(3)=20d + 6(3) = 20
d=2018=2d = 20 - 18 = 2
したがって、an=1+(n1)2=2n1a_n = 1 + (n-1)2 = 2n - 1bn=3(3n1)=3nb_n = 3(3^{n-1}) = 3^n
(2) Sn=k=1nakbkS_n = \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k} を求める。
Sn=k=1n2k13k=2k=1nk3kk=1n13kS_n = \sum_{k=1}^n \frac{2k-1}{3^k} = 2 \sum_{k=1}^n \frac{k}{3^k} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{3^k}
k=1n13k\sum_{k=1}^n \frac{1}{3^k} は等比数列の和であるから、
k=1n13k=13(1(13)n)113=13(113n)23=12(113n)\sum_{k=1}^n \frac{1}{3^k} = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}(1 - \frac{1}{3^n})}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3^n})
Tn=k=1nk3k=13+232+333+...+n3nT_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{3^k} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + ... + \frac{n}{3^n}
13Tn=132+233+...+n13n+n3n+1\frac{1}{3}T_n = \frac{1}{3^2} + \frac{2}{3^3} + ... + \frac{n-1}{3^n} + \frac{n}{3^{n+1}}
Tn13Tn=13+132+133+...+13nn3n+1T_n - \frac{1}{3}T_n = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + ... + \frac{1}{3^n} - \frac{n}{3^{n+1}}
23Tn=13(1(13)n)113n3n+1=12(113n)n3n+1\frac{2}{3}T_n = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}} - \frac{n}{3^{n+1}} = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{n}{3^{n+1}}
Tn=34(113n)3n23n+1=34343nn23n=343+2n43nT_n = \frac{3}{4}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{3n}{2 \cdot 3^{n+1}} = \frac{3}{4} - \frac{3}{4 \cdot 3^n} - \frac{n}{2 \cdot 3^n} = \frac{3}{4} - \frac{3 + 2n}{4 \cdot 3^n}
よって、Sn=2Tn12(113n)=2(343+2n43n)12+123n=323+2n23n12+123n=12+2n23n=1n+13nS_n = 2 T_n - \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) = 2 (\frac{3}{4} - \frac{3 + 2n}{4 \cdot 3^n}) - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3^n} = \frac{3}{2} - \frac{3 + 2n}{2 \cdot 3^n} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3^n} = 1 - \frac{2 + 2n}{2 \cdot 3^n} = 1 - \frac{n+1}{3^n}

3. 最終的な答え

(1) an=2n1a_n = 2n - 1, bn=3nb_n = 3^n
(2) Sn=1n+13nS_n = 1 - \frac{n+1}{3^n}

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