数列 $\{a_n\}$ は等差数列、数列 $\{b_n\}$ は公比が正の等比数列であり、$a_1 = 1, b_1 = 3$、$a_2 + 2b_2 = 21$、$a_4 + 2b_4 = 169$ を満たすとする。 (1) 一般項 $a_n$ と $b_n$ を求めよ。 (2) $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k}$ を求めよ。
2025/7/20
1. 問題の内容
数列 は等差数列、数列 は公比が正の等比数列であり、、、 を満たすとする。
(1) 一般項 と を求めよ。
(2) を求めよ。
2. 解き方の手順
(1) 一般項 と を求める。
等差数列 の公差を 、等比数列 の公比を とすると、
与えられた条件より、、 であるから、
よって、
整理すると、
...(1)
...(2)
(2) - (1) より、
は実数であるから、
(1) に を代入すると、
したがって、、
(2) を求める。
は等比数列の和であるから、
よって、
3. 最終的な答え
(1) ,
(2)