$a, b$ は実数、$n$ は自然数とします。次の命題の真偽を調べます。 (1) $a=0 \Rightarrow ab=0$ (2) $a^2=2a \Rightarrow a=2$ (3) $n$ は偶数 $\Rightarrow n+2$ は4の倍数 (4) $ac=bc \Rightarrow a=b$

1. 問題の内容

$a, b$ は実数、$n$ は自然数とします。次の命題の真偽を調べます。

(1) $a=0 \Rightarrow ab=0$

(2) $a^2=2a \Rightarrow a=2$

(3) $n$ は偶数 $\Rightarrow n+2$ は4の倍数

(4) $ac=bc \Rightarrow a=b$

2. 解き方の手順

(1) $a=0$ ならば、$ab=0$ は常に成り立ちます。なぜなら、0に何をかけても0になるからです。したがって、この命題は真です。

(2) $a^2=2a$ を変形すると、$a^2 - 2a = 0$ となり、$a(a-2)=0$ と因数分解できます。したがって、$a=0$ または $a=2$ です。$a=2$ だけであるとは限らないので、この命題は偽です。反例は $a=0$ です。

(3) $n$ が偶数であるとき、$n = 2k$ ( $k$ は整数) と表せます。このとき、$n+2 = 2k + 2 = 2(k+1)$ となります。$n+2$ が4の倍数であるためには、$n+2 = 4m$ ($m$ は整数) と表せる必要がありますが、$2(k+1)$ は必ずしも4の倍数とは限りません。例えば、$k=1$ のとき、$n=2$ となり、$n+2=4$ で4の倍数ですが、$k=2$ のとき、$n=4$ となり、$n+2=6$ で4の倍数ではありません。したがって、この命題は偽です。反例は $n=4$ です。

(4) $ac=bc$ を変形すると、$ac - bc = 0$ となり、$c(a-b)=0$ と因数分解できます。したがって、$c=0$ または $a=b$ です。$a=b$ だけであるとは限らないので、この命題は偽です。反例は、$a=1, b=2, c=0$ です。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽

(3) 偽

(4) 偽