底辺の長さと高さの和が8cmである三角形について、底辺の長さを$x$ cmとしたとき、三角形の面積が最大となる$x$の値と、そのときの面積の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

底辺の長さと高さの和が8cmである三角形について、底辺の長さを$x$ cmとしたとき、三角形の面積が最大となる$x$の値と、そのときの面積の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形の高さを$h$ cmとすると、問題文より、$x + h = 8$が成り立つ。

したがって、$h = 8 - x$となる。

次に、三角形の面積$S$を、$x$を用いて表す。三角形の面積は、$S = \frac{1}{2} \times x \times h$ で表されるので、

$S = \frac{1}{2}x(8-x)$

$S = -\frac{1}{2}x^2 + 4x$

この面積$S$が最大となる$x$の値を求めるために、$S$を平方完成する。

$S = -\frac{1}{2}(x^2 - 8x)$

$S = -\frac{1}{2}(x^2 - 8x + 16 - 16)$

$S = -\frac{1}{2}((x - 4)^2 - 16)$

$S = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 8$

したがって、$S$は$x = 4$のとき最大値8をとる。また、$x$は長さなので、$x > 0$である必要がある。さらに、高さ$h = 8-x$も正である必要があるので、$8 - x > 0$より、$x < 8$。したがって、$0 < x < 8$となり、$x = 4$はこの条件を満たす。

3. 最終的な答え

底辺の長さが4cmのとき、面積が最大となり、その最大値は8平方センチメートルである。

答え：

底辺の長さ：4 cm

面積の最大値：8 平方cm