次の等式を示す問題です。 $$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & a & a & a \\ y & b & a & a \\ z & c & b & a \end{vmatrix} = -(x-a)(y-b)(z-c) $$

1. 問題の内容

次の等式を示す問題です。

$$$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

x & a & a & a \\

y & b & a & a \\

z & c & b & a

\end{vmatrix} = -(x-a)(y-b)(z-c)

$$$$

2. 解き方の手順

与えられた行列式を計算するために、行列式の性質を利用して変形していきます。

ステップ1：1列目を基準に展開することを考えます。ただし、その前に2列目から1列目を引き、3列目から2列目を引き、4列目から3列目を引くことで、行列式を簡単にします。

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\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 \\

x & a-x & 0 & 0 \\

y & b-y & a-b & 0 \\

z & c-z & b-c & a-b

\end{vmatrix}

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ステップ2：1行目で余因子展開を行います。

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1 \cdot \begin{vmatrix}

a-x & 0 & 0 \\

b-y & a-b & 0 \\

c-z & b-c & a-b

\end{vmatrix}

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ステップ3：得られた3x3行列式は下三角行列なので、対角成分の積になります。

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(a-x)(a-b)(a-b)

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しかし、与えられた式と合いません。

元の行列式を変形することから考えます。1列目から2列目を引く、2列目から3列目を引く、3列目から4列目を引く操作をします。

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\begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 1 \\

x-a & 0 & 0 & a \\

y-b & b-a & 0 & a \\

z-c & c-b & b-a & a

\end{vmatrix}

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第1行で余因子展開をすると、

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1 \cdot (-1)^{1+4} \begin{vmatrix}

x-a & 0 & 0 \\

y-b & b-a & 0 \\

z-c & c-b & b-a

\end{vmatrix}

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- (x-a)(b-a)(b-a)

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これでも合いません。

別の方法を試します。まず、1列目を固定して、2列目、3列目、4列目から1列目を引きます。

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\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 \\

x & a-x & a-x & a-x \\

y & b-y & a-y & a-y \\

z & c-z & b-z & a-z

\end{vmatrix}

$$$$

１行目で展開すると、

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\begin{vmatrix}

a-x & a-x & a-x \\

b-y & a-y & a-y \\

c-z & b-z & a-z

\end{vmatrix}

$$$$

次に、2列目から1列目を引きます。

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\begin{vmatrix}

a-x & x-a & x-a \\

b-y & a-b & a-y \\

c-z & b-c & a-z

\end{vmatrix}

$$$$

3列目から1列目を引きます。

$$$$

\begin{vmatrix}

a-x & x-a & x-a \\

b-y & a-b & y-b \\

c-z & b-c & a-c

\end{vmatrix}

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1列目でくくりだします。

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(a-x)

\begin{vmatrix}

1 & x-a & x-a \\

b-y & a-b & y-b \\

c-z & b-c & a-c

\end{vmatrix}

$$$$

求める行列式を計算するために、行列の性質を利用して行と列を入れ替えていきます。

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\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

x & a & a & a \\

y & b & a & a \\

z & c & b & a

\end{vmatrix}

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第2行から第1行の$a$倍を引きます。

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\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

x-a & 0 & 0 & 0 \\

y & b & a & a \\

z & c & b & a

\end{vmatrix}

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第3行から第1行の$a$倍を引きます。

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\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

x-a & 0 & 0 & 0 \\

y-a & b-a & 0 & 0 \\

z & c & b & a

\end{vmatrix}

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第4行から第1行の$a$倍を引きます。

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\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

x-a & 0 & 0 & 0 \\

y-a & b-a & 0 & 0 \\

z-a & c-a & b-a & 0

\end{vmatrix}

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1列目で余因子展開をします。

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\begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 \\

b-a & 0 & 0 \\

c-a & b-a & 0

\end{vmatrix}

+ \begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 \\

y & b & a & a \\

z & c & b & a

\end{vmatrix}

$$$$

...

問題文の等式は、正しくない可能性があります。数値計算などで確認することを推奨します。

3. 最終的な答え

問題文の等式が正しい場合、上記の解き方を参考にしてください。しかし、現時点では等式を導き出すことができませんでした。申し訳ありません。