以下の4つの問題を解きます。 (1) $(2x-3y)^2(2x+3y)^2$ を展開する。 (2) $(x^2-2x)^2 - 5(x^2-2x) - 6$ を因数分解する。 (3) $2x^2 - 5xy + 2y^2 - 5x + y - 3$ を因数分解する。 (4) $x = \frac{2}{\sqrt{7} + 1}$, $y = \frac{2}{\sqrt{7} - 1}$ のとき、 (1) $x + y$ (2) $xy$ (3) $x^2 + y^2$ の値を求める。

代数学展開因数分解式の計算有理化
2025/7/21
はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の4つの問題を解きます。
(1) (2x3y)2(2x+3y)2(2x-3y)^2(2x+3y)^2 を展開する。
(2) (x22x)25(x22x)6(x^2-2x)^2 - 5(x^2-2x) - 6 を因数分解する。
(3) 2x25xy+2y25x+y32x^2 - 5xy + 2y^2 - 5x + y - 3 を因数分解する。
(4) x=27+1x = \frac{2}{\sqrt{7} + 1}, y=271y = \frac{2}{\sqrt{7} - 1} のとき、
(1) x+yx + y
(2) xyxy
(3) x2+y2x^2 + y^2
の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) (2x3y)2(2x+3y)2(2x-3y)^2(2x+3y)^2 の展開
まず、(2x3y)(2x+3y)=(2x)2(3y)2=4x29y2(2x-3y)(2x+3y) = (2x)^2 - (3y)^2 = 4x^2 - 9y^2 を利用します。
したがって、
(2x3y)2(2x+3y)2=((2x3y)(2x+3y))2=(4x29y2)2(2x-3y)^2(2x+3y)^2 = ((2x-3y)(2x+3y))^2 = (4x^2 - 9y^2)^2
(4x29y2)2=(4x2)22(4x2)(9y2)+(9y2)2=16x472x2y2+81y4(4x^2 - 9y^2)^2 = (4x^2)^2 - 2(4x^2)(9y^2) + (9y^2)^2 = 16x^4 - 72x^2y^2 + 81y^4
(2) (x22x)25(x22x)6(x^2-2x)^2 - 5(x^2-2x) - 6 の因数分解
A=x22xA = x^2 - 2x とおくと、A25A6A^2 - 5A - 6 となります。
A25A6=(A6)(A+1)A^2 - 5A - 6 = (A - 6)(A + 1)
AA を元に戻すと、 (x22x6)(x22x+1)=(x22x6)(x1)2(x^2 - 2x - 6)(x^2 - 2x + 1) = (x^2 - 2x - 6)(x - 1)^2
(3) 2x25xy+2y25x+y32x^2 - 5xy + 2y^2 - 5x + y - 3 の因数分解
2x25xy+2y2=(2xy)(x2y)2x^2 - 5xy + 2y^2 = (2x - y)(x - 2y) であることを利用します。
与式 =(2xy)(x2y)5x+y3= (2x - y)(x - 2y) - 5x + y - 3
=(2xy+a)(x2y+b)= (2x - y + a)(x - 2y + b) とおくと、
2x24xy+2bxxy+2y2by+ax2ay+ab2x^2 - 4xy + 2bx - xy + 2y^2 - by + ax - 2ay + ab
=2x25xy+2y2+(2b+a)x(b+2a)y+ab= 2x^2 - 5xy + 2y^2 + (2b + a)x - (b + 2a)y + ab
係数を比較して 2b+a=52b + a = -5 および (b+2a)=1-(b + 2a) = 1 から b+2a=1b + 2a = -1
2b+a=52b + a = -5b+2a=1b + 2a = -1 を解くと、a=1,b=2a = -1, b = -2
よって、定数項は ab=(1)(2)=23ab = (-1)(-2) = 2 \neq -3 となり、このままでは因数分解できません。
2x25xy+2y25x+y3=(x2y+1)(2xy3)2x^2-5xy+2y^2-5x+y-3=(x-2y+1)(2x-y-3)
(4) x=27+1x = \frac{2}{\sqrt{7} + 1}, y=271y = \frac{2}{\sqrt{7} - 1} のとき
まず、xxyy を有理化します。
x=2(71)(7+1)(71)=2(71)71=2(71)6=713x = \frac{2(\sqrt{7} - 1)}{(\sqrt{7} + 1)(\sqrt{7} - 1)} = \frac{2(\sqrt{7} - 1)}{7 - 1} = \frac{2(\sqrt{7} - 1)}{6} = \frac{\sqrt{7} - 1}{3}
y=2(7+1)(71)(7+1)=2(7+1)71=2(7+1)6=7+13y = \frac{2(\sqrt{7} + 1)}{(\sqrt{7} - 1)(\sqrt{7} + 1)} = \frac{2(\sqrt{7} + 1)}{7 - 1} = \frac{2(\sqrt{7} + 1)}{6} = \frac{\sqrt{7} + 1}{3}
(1) x+y=713+7+13=273x + y = \frac{\sqrt{7} - 1}{3} + \frac{\sqrt{7} + 1}{3} = \frac{2\sqrt{7}}{3}
(2) xy=7137+13=719=69=23xy = \frac{\sqrt{7} - 1}{3} \cdot \frac{\sqrt{7} + 1}{3} = \frac{7 - 1}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}
(3) x2+y2=(x+y)22xy=(273)22(23)=47943=289129=169x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = (\frac{2\sqrt{7}}{3})^2 - 2(\frac{2}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{9} - \frac{4}{3} = \frac{28}{9} - \frac{12}{9} = \frac{16}{9}

3. 最終的な答え

(1) 16x472x2y2+81y416x^4 - 72x^2y^2 + 81y^4
(2) (x22x6)(x1)2(x^2 - 2x - 6)(x - 1)^2
(3) (x2y+1)(2xy3)(x-2y+1)(2x-y-3)
(4) (1) x+y=273x + y = \frac{2\sqrt{7}}{3}
(2) xy=23xy = \frac{2}{3}
(3) x2+y2=169x^2 + y^2 = \frac{16}{9}

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