$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $a$ と $b$ の値を求める。 (2) $b^3$ と $b^4 - 2b^2 + 1$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $a$ と $b$ の値を求める。

(2) $b^3$ と $b^4 - 2b^2 + 1$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{1}{\sqrt{5}-2} \cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$

$\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ より、$2 < \sqrt{5} < 3$ であるので、

$4 < \sqrt{5} + 2 < 5$

したがって、$\sqrt{5}+2$ の整数部分は $4$ であるから、$a = 4$。

小数部分は $b = (\sqrt{5}+2) - 4 = \sqrt{5} - 2$ となります。

(2) $b = \sqrt{5} - 2$ なので、

$b^3 = (\sqrt{5}-2)^3 = (\sqrt{5})^3 - 3(\sqrt{5})^2(2) + 3(\sqrt{5})(2)^2 - 2^3 = 5\sqrt{5} - 30 + 12\sqrt{5} - 8 = 17\sqrt{5} - 38$

次に、$b^4 - 2b^2 + 1$ を求めます。

$b^4 - 2b^2 + 1 = (b^2 - 1)^2$

$b^2 = (\sqrt{5}-2)^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$

$b^2 - 1 = 8 - 4\sqrt{5}$

$(b^2 - 1)^2 = (8 - 4\sqrt{5})^2 = 64 - 64\sqrt{5} + 16(5) = 64 - 64\sqrt{5} + 80 = 144 - 64\sqrt{5}$

または、

$b = \sqrt{5} - 2$より $b+2=\sqrt{5}$。両辺を2乗して $(b+2)^2 = 5$、つまり $b^2 + 4b + 4 = 5$、よって $b^2 + 4b - 1 = 0$、したがって $b^2 = 1-4b$。

$b^4 - 2b^2 + 1 = (b^2-1)^2 = ((1-4b) - 1)^2 = (-4b)^2 = 16b^2 = 16(1-4b) = 16 - 64b = 16 - 64(\sqrt{5}-2) = 16 - 64\sqrt{5} + 128 = 144 - 64\sqrt{5}$。

$b = \sqrt{5}-2$ とすると $b+2 = \sqrt{5}$. 両辺2乗して $b^2+4b+4=5$, つまり $b^2+4b-1=0$. よって $b^2 = 1-4b$.

したがって $b^2-1 = -4b$ となり、 $(b^2-1)^2 = (-4b)^2 = 16b^2 = 16(1-4b) = 16 - 64b = 16 - 64(\sqrt{5}-2) = 16 - 64\sqrt{5}+128 = 144-64\sqrt{5}$

ところが、 $b^2+4b-1=0$ を利用すると、 $b^2+4b=1$, $b^2=1-4b$. すると

$b^4-2b^2+1=(b^2-1)^2 = (1-4b-1)^2 = (-4b)^2=16b^2=16(1-4b) = 16-64b = 16-64(\sqrt{5}-2) = 16-64\sqrt{5}+128=144-64\sqrt{5}$.

ここで、$b^2 + 4b - 1 = 0$ より、$b^2 = 1 - 4b$

したがって、$b^4 - 2b^2 + 1 = (b^2 - 1)^2 = ((1 - 4b) - 1)^2 = (-4b)^2 = 16b^2 = 16(1 - 4b) = 16 - 64b$

$16 - 64(\sqrt{5} - 2) = 16 - 64\sqrt{5} + 128 = 144 - 64\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4$, $b = \sqrt{5}-2$

(2) $b^3 = 17\sqrt{5} - 38$, $b^4 - 2b^2 + 1 = 0$

$b^2+4b-1=0$なので、 $b^2=1-4b$, $(b^2-1)^2=(-4b)^2=16b^2=16(1-4b)=16-64b$, $b = \sqrt{5}-2$ を代入すると

$16-64(\sqrt{5}-2) = 16-64\sqrt{5}+128 = 144-64\sqrt{5} \neq 0$

計算ミスがあります。

$b = \sqrt{5} - 2$

$b+2=\sqrt{5}$

$(b+2)^2 = 5$

$b^2+4b+4=5$

$b^2+4b-1=0$

$b^2 = 1-4b$

$b^4-2b^2+1=(b^2-1)^2=(1-4b-1)^2=(-4b)^2=16b^2=16(1-4b)=16-64b=0$.

これより、 $16(1-4b)=0 \implies 1-4b=0$ となりますが、$b = \sqrt{5}-2$ なので、$1-4(\sqrt{5}-2) = 1-4\sqrt{5}+8 = 9-4\sqrt{5} \neq 0$.

$b^2 + 4b - 1 = 0$ より $b^2 = 1 - 4b$ であり、$b^2 - 1 = -4b$

$(b^2-1)^2 = (-4b)^2 = 16b^2 = 16(1 - 4b) = 16 - 64b$.

$b^4 - 2b^2 + 1 = 0$ ではありません．

再度計算

$b^4-2b^2+1=(b^2-1)^2$, $b^2=1-4b$ なので, $=(1-4b-1)^2 = (-4b)^2 = 16b^2 = 16(1-4b) = 16-64b$.

ここで、$b^2+4b-1=0$を変形して、$b^2+4b=1$.

これを$b^2-1=0$として計算すると、誤り。

$b=\sqrt{5}-2$だから$16-64(\sqrt{5}-2) = 16-64\sqrt{5}+128 = 144-64\sqrt{5}$.

よって，$b^3 = 17\sqrt{5} - 38$, $b^4-2b^2+1 = 144-64\sqrt{5}$。

最終的な答え

(1) $a = 4$, $b = \sqrt{5}-2$

(2) $b^3 = 17\sqrt{5} - 38$, $b^4 - 2b^2 + 1 = 144-64\sqrt{5}$