複素数 $z$ に対し、以下の2つの問題を解く。 (1) $\frac{1}{z+i} + \frac{1}{z-i}$ が実数となる点 $z$ 全体の描く図形 $P$ を複素数平面上に図示する。 (2) $z$ が (1) で求めた図形 $P$ 上を動くとき、$w = \frac{z+i}{z-i}$ の描く図形を複素数平面上に図示する。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に対し、以下の2つの問題を解く。

(1) $\frac{1}{z+i} + \frac{1}{z-i}$ が実数となる点 $z$ 全体の描く図形 $P$ を複素数平面上に図示する。

(2) $z$ が (1) で求めた図形 $P$ 上を動くとき、$w = \frac{z+i}{z-i}$ の描く図形を複素数平面上に図示する。

2. 解き方の手順

(1) $z = x + yi$ ($x, y$ は実数) とおく。

$\frac{1}{z+i} + \frac{1}{z-i} = \frac{1}{x + (y+1)i} + \frac{1}{x + (y-1)i}$

$= \frac{x - (y+1)i}{x^2 + (y+1)^2} + \frac{x - (y-1)i}{x^2 + (y-1)^2}$

$= \frac{x}{x^2 + (y+1)^2} - \frac{y+1}{x^2 + (y+1)^2}i + \frac{x}{x^2 + (y-1)^2} - \frac{y-1}{x^2 + (y-1)^2}i$

$= \left( \frac{x}{x^2 + (y+1)^2} + \frac{x}{x^2 + (y-1)^2} \right) - \left( \frac{y+1}{x^2 + (y+1)^2} + \frac{y-1}{x^2 + (y-1)^2} \right)i$

これが実数となる条件は、虚部が0であることなので、

$\frac{y+1}{x^2 + (y+1)^2} + \frac{y-1}{x^2 + (y-1)^2} = 0$

$(y+1)(x^2 + (y-1)^2) + (y-1)(x^2 + (y+1)^2) = 0$

$(y+1)(x^2 + y^2 - 2y + 1) + (y-1)(x^2 + y^2 + 2y + 1) = 0$

$x^2y + y^3 - 2y^2 + y + x^2 + y^2 - 2y + 1 + x^2y + y^3 + 2y^2 - y - x^2 - y^2 - 2y - 1 = 0$

$2x^2y + 2y^3 - 4y = 0$

$2y(x^2 + y^2 - 2) = 0$

$y=0$ または $x^2 + y^2 = 2$

ただし、$z = \pm i$ のとき、分母が0になるので、$y = \pm 1$ を除く必要がある。

したがって、図形 $P$ は直線 $y=0$ と円 $x^2+y^2 = 2$ (原点中心、半径 $\sqrt{2}$) である。ただし、円上の点$(0,1)$ と $(0,-1)$ は除く。

(2) $w = \frac{z+i}{z-i}$ より、 $w(z-i) = z+i$

$wz - wi = z + i$

$z(w-1) = i(w+1)$

$z = i \frac{w+1}{w-1}$

$z = x+yi$ なので、$x+yi = i \frac{w+1}{w-1}$

(1) で求めた図形 $P$ 上の点 $z$ に対して $x+yi$ を代入する。

まず、$y=0$ のとき、$z = x$ なので、

$x = i \frac{w+1}{w-1}$

$\frac{w+1}{w-1} = -ix$

$w+1 = -ix(w-1)$

$w+1 = -ixw + ix$

$w(1+ix) = ix - 1$

$w = \frac{ix-1}{ix+1}$

$|w| = \frac{|ix-1|}{|ix+1|} = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}} = 1$

よって、$|w| = 1$。これは原点中心、半径1の円を表す。ただし、w ≠ 1 となる。

次に、$x^2+y^2 = 2$ のとき、$z = x+yi$ であり、$x^2+y^2 = 2$ を満たす。

$x+yi = i \frac{w+1}{w-1}$

$x+yi = i \frac{(w+1)(\bar{w}-1)}{(w-1)(\bar{w}-1)} = i \frac{w\bar{w} -w + \bar{w} - 1}{|w-1|^2}$

$w = u+vi$ とおくと、$x+yi = i \frac{u^2+v^2 - (u+vi) + (u-vi) - 1}{(u-1)^2 + v^2} = i \frac{u^2+v^2 - 2vi - 1}{(u-1)^2 + v^2}$

$x+yi = \frac{2v}{(u-1)^2+v^2} + \frac{u^2+v^2-1}{(u-1)^2+v^2}i$

$x = -\frac{2v}{(u-1)^2+v^2}$, $y = \frac{u^2+v^2-1}{(u-1)^2+v^2}$

$x^2+y^2 = \frac{4v^2}{((u-1)^2+v^2)^2} + \frac{(u^2+v^2-1)^2}{((u-1)^2+v^2)^2} = 2$

$4v^2 + (u^2+v^2-1)^2 = 2((u-1)^2 + v^2)^2$

$4v^2 + u^4 + v^4 + 1 + 2u^2v^2 - 2u^2 - 2v^2 = 2(u^2-2u+1+v^2)^2$

$u^4 + v^4 + 2u^2v^2 + 2v^2 - 2u^2 + 1 = 2(u^4 + v^4 + 1 + 4u^2 + 4u^2v^2 - 4u - 2u^2 + 2v^2 - 4uv^2)$

この式を整理すると、$u = 0$ となる。これは虚軸である。ただし $w \neq i$ ,$w \neq -i$となる。

3. 最終的な答え

(1) 直線 $y=0$ と円 $x^2+y^2 = 2$。ただし、円上の点$(0,1)$ と $(0,-1)$ は除く。

(2) 円 $|w| = 1$ と虚軸。ただし、$w \neq i$ ,$w \neq -i$ となる。 また $w \neq 1$ となる。