実数 $a$ と行列 $A = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ が与えられている。$I$ は3次の単位行列とする。 (i) $A^2B^2 - I$ の行列式を求めよ。 (ii) $(AB)^2 - I$ の行列式を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $a$ と行列 $A = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ が与えられている。$I$ は3次の単位行列とする。

(i) $A^2B^2 - I$ の行列式を求めよ。

(ii) $(AB)^2 - I$ の行列式を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) $A^2B^2 - I$ の行列式を求める。

まず、$A^2$ と $B^2$ を計算する。

$A^2 = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 & 0 & 0 \\ 0 & a^2 & 0 \\ 0 & 0 & a^2 \end{bmatrix} = a^2 I$

$B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$

よって、

$A^2B^2 - I = (a^2 I) (I) - I = a^2 I - I = (a^2 - 1) I = \begin{bmatrix} a^2 - 1 & 0 & 0 \\ 0 & a^2 - 1 & 0 \\ 0 & 0 & a^2 - 1 \end{bmatrix}$

したがって、$A^2B^2 - I$ の行列式は

$\det(A^2B^2 - I) = \det((a^2-1)I) = (a^2 - 1)^3$

(ii) $(AB)^2 - I$ の行列式を求める。

まず、$AB$ を計算する。

$AB = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & a & 0 \\ a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix}$

次に、$(AB)^2$ を計算する。

$(AB)^2 = \begin{bmatrix} 0 & a & 0 \\ a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & a & 0 \\ a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 & 0 & 0 \\ 0 & a^2 & 0 \\ 0 & 0 & a^2 \end{bmatrix} = a^2 I$

よって、

$(AB)^2 - I = a^2 I - I = (a^2 - 1) I = \begin{bmatrix} a^2 - 1 & 0 & 0 \\ 0 & a^2 - 1 & 0 \\ 0 & 0 & a^2 - 1 \end{bmatrix}$

したがって、$(AB)^2 - I$ の行列式は

$\det((AB)^2 - I) = \det((a^2-1)I) = (a^2 - 1)^3$

3. 最終的な答え

(i) $(a^2 - 1)^3$

(ii) $(a^2 - 1)^3$