与えられた行列AとBに対して、以下の問題を解きます。 (1) 行列Aの行列式を求める。 (2) 行列Aの逆行列を求める。 (3) 行列Bの転置行列を求める。 (4) 行列 ${}^tBB$ のトレースを求める。 行列A, Bは以下で与えられています。 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 3 & 7 & 5 \\ -8 & 1 & 4 \\ 6 & -2 & 9 \end{bmatrix}$

代数学行列行列式逆行列転置行列トレース
2025/7/21

1. 問題の内容

与えられた行列AとBに対して、以下の問題を解きます。
(1) 行列Aの行列式を求める。
(2) 行列Aの逆行列を求める。
(3) 行列Bの転置行列を求める。
(4) 行列 tBB{}^tBB のトレースを求める。
行列A, Bは以下で与えられています。
A=[1235]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}, B=[375814629]B = \begin{bmatrix} 3 & 7 & 5 \\ -8 & 1 & 4 \\ 6 & -2 & 9 \end{bmatrix}

2. 解き方の手順

(1) 行列Aの行列式は、det(A)=adbcdet(A) = ad - bc で計算できます。
この場合、a=1,b=2,c=3,d=5a = 1, b = 2, c = 3, d = 5 なので、det(A)=(1)(5)(2)(3)det(A) = (1)(5) - (2)(3)
(2) 行列Aの逆行列は、A1=1det(A)[dbca]A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} で計算できます。
det(A)は(1)で求めた値を用います。
(3) 行列Bの転置行列は、行と列を入れ替えることで得られます。つまり、tBij=Bji{}^tB_{ij} = B_{ji}です。
(4) 行列 tBB{}^tBB を計算し、対角成分の和を計算します。
まず、転置行列tB{}^tBを求めます。
tB=[386712549]{}^tB = \begin{bmatrix} 3 & -8 & 6 \\ 7 & 1 & -2 \\ 5 & 4 & 9 \end{bmatrix}
次に、tBB{}^tBBを計算します。
tBB=[386712549][375814629]{}^tBB = \begin{bmatrix} 3 & -8 & 6 \\ 7 & 1 & -2 \\ 5 & 4 & 9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 7 & 5 \\ -8 & 1 & 4 \\ 6 & -2 & 9 \end{bmatrix}
tBB=[9+64+36218121532+542181249+1+435+4181532+5435+41825+16+81]{}^tBB = \begin{bmatrix} 9+64+36 & 21-8-12 & 15-32+54 \\ 21-8-12 & 49+1+4 & 35+4-18 \\ 15-32+54 & 35+4-18 & 25+16+81 \end{bmatrix}
tBB=[109137154213721122]{}^tBB = \begin{bmatrix} 109 & 1 & 37 \\ 1 & 54 & 21 \\ 37 & 21 & 122 \end{bmatrix}
tBB{}^tBBのトレースは、対角成分の和なので、109+54+122109 + 54 + 122を計算します。

3. 最終的な答え

(1) det(A)=(1)(5)(2)(3)=56=1det(A) = (1)(5) - (2)(3) = 5 - 6 = -1
(2) A1=11[5231]=[5231]A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}
(3) tB=[386712549]{}^tB = \begin{bmatrix} 3 & -8 & 6 \\ 7 & 1 & -2 \\ 5 & 4 & 9 \end{bmatrix}
(4) tBB=[109137154213721122]{}^tBB = \begin{bmatrix} 109 & 1 & 37 \\ 1 & 54 & 21 \\ 37 & 21 & 122 \end{bmatrix}
Trace(tBB{}^tBB) = 109 + 54 + 122 = 285
(1) -1
(2) [5231]\begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}
(3) [386712549]\begin{bmatrix} 3 & -8 & 6 \\ 7 & 1 & -2 \\ 5 & 4 & 9 \end{bmatrix}
(4) 285

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