数列 $\{a_n\}$ は等差数列であり、$a_6 = 85$, $a_{12} = 67$ である。 数列の初項 $a_1$, 公差、一般項 $a_n$ を求め、$a_n = 10$ となる $n$ を求める。 また、和 $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ を求め、$S_n$ が負となる最小の $n$ および $S_n$ が最大となる $n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は等差数列であり、$a_6 = 85$, $a_{12} = 67$ である。

数列の初項 $a_1$, 公差、一般項 $a_n$ を求め、$a_n = 10$ となる $n$ を求める。

また、和 $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ を求め、$S_n$ が負となる最小の $n$ および $S_n$ が最大となる $n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、公差 $d$ を求める。

$a_{12} - a_6 = (12-6)d$ より $67 - 85 = 6d$。

したがって、$-18 = 6d$ より $d = -3$。

$a_6 = a_1 + 5d$ より $85 = a_1 + 5(-3) = a_1 - 15$。

したがって、$a_1 = 85 + 15 = 100$。

一般項 $a_n$ は $a_n = a_1 + (n-1)d = 100 + (n-1)(-3) = 100 - 3n + 3 = -3n + 103$。

$a_n = 10$ となる $n$ は $-3n + 103 = 10$ より $3n = 93$。

したがって、$n = 31$。

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(100 + (-3n + 103)) = \frac{n}{2}(203 - 3n) = \frac{-3}{2}n^2 + \frac{203}{2}n$。

$S_n$ が負となる最小の $n$ は、$S_n < 0$ となる最小の $n$ を求める。

$\frac{-3}{2}n^2 + \frac{203}{2}n < 0$

$-3n^2 + 203n < 0$

$n(-3n + 203) < 0$

$n > 0$ より $-3n + 203 < 0$

$3n > 203$

$n > \frac{203}{3} \approx 67.67$

したがって、$S_n$ が負となる最小の $n$ は $68$。

$S_n$ が最大となる $n$ を求めるには、$a_n$ が最初に負になる $n$ を求める。

$a_n = -3n + 103 < 0$

$3n > 103$

$n > \frac{103}{3} \approx 34.33$

$a_{34} = -3(34) + 103 = 1$

$a_{35} = -3(35) + 103 = -2$

したがって、$S_n$ が最大になるのは $n = 34$。

3. 最終的な答え

$a_1 = 100$

公差 $d = -3$

$a_n = -3n + 103$

$n = 31$

$S_n = \frac{-3}{2}n^2 + \frac{203}{2}n$

$n = 68$

$n = 34$