行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} 3 & 7 & 5 \\ -8 & 1 & 4 \\ 6 & -2 & 9 \end{bmatrix}$ が与えられています。 (1) $A$ の行列式の値を求めます。 (2) $A$ の逆行列を求めます。 (3) $B$ の転置行列 $^tB$ を求めます。 (4) $^tBB$ のトレースを求めます。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} 3 & 7 & 5 \\ -8 & 1 & 4 \\ 6 & -2 & 9 \end{bmatrix}$ が与えられています。

(1) $A$ の行列式の値を求めます。

(2) $A$ の逆行列を求めます。

(3) $B$ の転置行列 $^tB$ を求めます。

(4) $^tBB$ のトレースを求めます。

2. 解き方の手順

(1) $A$ の行列式は、次のように計算します。

$\det(A) = (1)(5) - (2)(3) = 5 - 6 = -1$

(2) $A$ の逆行列は、次のように計算します。

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$

(3) $B$ の転置行列 $^tB$ は、$B$ の行と列を入れ替えることで得られます。

$^tB = \begin{bmatrix} 3 & -8 & 6 \\ 7 & 1 & -2 \\ 5 & 4 & 9 \end{bmatrix}$

(4) まず、$^tBB$ を計算します。

$^tBB = \begin{bmatrix} 3 & -8 & 6 \\ 7 & 1 & -2 \\ 5 & 4 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 7 & 5 \\ -8 & 1 & 4 \\ 6 & -2 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (3)(3)+(-8)(-8)+(6)(6) & (3)(7)+(-8)(1)+(6)(-2) & (3)(5)+(-8)(4)+(6)(9) \\ (7)(3)+(1)(-8)+(-2)(6) & (7)(7)+(1)(1)+(-2)(-2) & (7)(5)+(1)(4)+(-2)(9) \\ (5)(3)+(4)(-8)+(9)(6) & (5)(7)+(4)(1)+(9)(-2) & (5)(5)+(4)(4)+(9)(9) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9+64+36 & 21-8-12 & 15-32+54 \\ 21-8-12 & 49+1+4 & 35+4-18 \\ 15-32+54 & 35+4-18 & 25+16+81 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 109 & 1 & 37 \\ 1 & 54 & 21 \\ 37 & 21 & 122 \end{bmatrix}$

次に、$^tBB$ のトレースを計算します。トレースは、対角成分の和です。

$\text{Tr}(^tBB) = 109 + 54 + 122 = 285$

3. 最終的な答え

(1) $\det(A) = -1$

(2) $A^{-1} = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$

(3) $^tB = \begin{bmatrix} 3 & -8 & 6 \\ 7 & 1 & -2 \\ 5 & 4 & 9 \end{bmatrix}$

(4) $\text{Tr}(^tBB) = 285$