3.の問題：行列式 $\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix}$ を計算します。

1. 問題の内容

3.の問題：行列式

$\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix}$

を計算します。

2. 解き方の手順

この行列式はヴァンデルモンドの行列式です。

行列式の性質を利用して計算します。

まず、第2行から第1行を、第3行から第1行をそれぞれ引きます。

$\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 0 & y-x & y^2 - x^2 \\ 0 & z-x & z^2 - x^2 \end{vmatrix}$

次に、第1列に関して余因子展開をします。

$\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 0 & y-x & y^2 - x^2 \\ 0 & z-x & z^2 - x^2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} y-x & y^2 - x^2 \\ z-x & z^2 - x^2 \end{vmatrix} = (y-x)(z^2-x^2) - (z-x)(y^2-x^2)$

$=(y-x)(z-x)(z+x) - (z-x)(y-x)(y+x)$

$=(y-x)(z-x)(z+x-y-x)$

$=(y-x)(z-x)(z-y)$

$=(x-y)(y-z)(z-x)$ (-1)*(-1)を括り出すことで並び替えました。

3. 最終的な答え

$(x-y)(y-z)(z-x)$