確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が $f(x) = \frac{1}{18}x$ ($0 \le x \le 6$) で与えられているとき、確率 $P(1 \le X \le 5)$ を求めよ。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が $f(x) = \frac{1}{18}x$ ($0 \le x \le 6$) で与えられているとき、確率 $P(1 \le X \le 5)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

確率 $P(1 \le X \le 5)$ は、確率密度関数 $f(x)$ を区間 $[1, 5]$ で積分することで求められます。

つまり、

$P(1 \le X \le 5) = \int_{1}^{5} f(x) dx = \int_{1}^{5} \frac{1}{18}x dx$

まず、積分を計算します。

$\int \frac{1}{18}x dx = \frac{1}{18} \int x dx = \frac{1}{18} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{36} + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{5} \frac{1}{18}x dx = \left[ \frac{x^2}{36} \right]_1^5 = \frac{5^2}{36} - \frac{1^2}{36} = \frac{25}{36} - \frac{1}{36} = \frac{24}{36}$

最後に、分数を約分します。

$\frac{24}{36} = \frac{12 \cdot 2}{12 \cdot 3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$P(1 \le X \le 5) = \frac{2}{3}$