確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x) = \frac{1}{18}x$ ($0 \le x \le 6$) で与えられているとき、確率 $P(0 \le X \le 6)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x) = \frac{1}{18}x$ ($0 \le x \le 6$) で与えられているとき、確率 $P(0 \le X \le 6)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

確率密度関数が与えられているとき、ある区間の確率を求めるには、その区間で確率密度関数を積分します。この問題では、$0 \le X \le 6$ の範囲での確率を求めるので、$f(x) = \frac{1}{18}x$ を 0 から 6 まで積分します。

$P(0 \le X \le 6) = \int_{0}^{6} f(x) dx = \int_{0}^{6} \frac{1}{18}x dx$

$\int_{0}^{6} \frac{1}{18}x dx = \frac{1}{18} \int_{0}^{6} x dx = \frac{1}{18} \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{6}$

$= \frac{1}{18} \left( \frac{1}{2}(6)^2 - \frac{1}{2}(0)^2 \right) = \frac{1}{18} \left( \frac{1}{2}(36) - 0 \right)$

$= \frac{1}{18} (18) = 1$

3. 最終的な答え

$P(0 \le X \le 6) = 1$