## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

与えられた置換について、以下の問題を解きます。

1. 置換の積を計算する。

2. 置換を巡回置換の積に分解する。

3. 置換を互換の積に分解し、各置換の符号を求める。

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2. 解き方の手順

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1. 置換の積の計算**

(1)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

右側の置換によって $1 \mapsto 3, 2 \mapsto 1, 3 \mapsto 2$ となります。

次に、左側の置換によって $3 \mapsto 2, 1 \mapsto 3, 2 \mapsto 1$ となります。

したがって、合成された置換は $1 \mapsto 2, 2 \mapsto 3, 3 \mapsto 1$ となり、これは $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ と表されます。

(2)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

右側の置換によって $1 \mapsto 4, 2 \mapsto 3, 3 \mapsto 2, 4 \mapsto 1$ となります。

次に、左側の置換によって $4 \mapsto 1, 3 \mapsto 2, 2 \mapsto 4, 1 \mapsto 3$ となります。

したがって、合成された置換は $1 \mapsto 3, 2 \mapsto 2, 3 \mapsto 4, 4 \mapsto 1$ となり、これは $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$ と表されます。

(3)

$(1\ 3)(2\ 3)(2\ 4)$

右から順に適用します。

$(2\ 4)$ は $2 \mapsto 4, 4 \mapsto 2$ であり、他の要素は変わりません。

$(2\ 3)(2\ 4)$ は $2 \mapsto 3, 3 \mapsto 2$ と $2 \mapsto 4, 4 \mapsto 2$ の合成です。

$2 \mapsto 4 \mapsto 4$, $3 \mapsto 3 \mapsto 2$, $4 \mapsto 2 \mapsto 3$ となるので $(2\ 3)(2\ 4)=(2\ 4\ 3)$.

$(1\ 3)(2\ 4\ 3)$ を計算します。

$1 \mapsto 3 \mapsto 3$, $2 \mapsto 2 \mapsto 4$, $3 \mapsto 1 \mapsto 1$, $4 \mapsto 4 \mapsto 2$ となります。

したがって $(1\ 3)(2\ 4\ 3) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

巡回置換の記法では$(1\ 3)(2\ 4\ 3)=(1\ 3)(2\ 4\ 3) = (1\ 3)(2\ 4\ 3) = (1\ 3)(2\ 4\ 3)$

これは巡回置換でいうと$(1\ 3)(2\ 4\ 3)$で表されます。

(4)

$(1\ 4)(2\ 3)(1\ 2\ 4\ 3)(2\ 3)$

右から順に適用します。

$(2\ 3)$ は $2 \mapsto 3, 3 \mapsto 2$ であり、他の要素は変わりません。

$(1\ 2\ 4\ 3)(2\ 3) = (1\ 2\ 4\ 3)(2\ 3)$. $2 \mapsto 3 \mapsto 2$, $3 \mapsto 2 \mapsto 4$, $4 \mapsto 4 \mapsto 3$.

$(1\ 2\ 4\ 3)(2\ 3) = (1\ 2\ 4)(3)$.

$(2\ 3)$なので$1 \mapsto 1, 2 \mapsto 3, 3 \mapsto 2, 4 \mapsto 4$

$(1\ 4)(2\ 3)(1\ 2\ 4 3) (2\ 3) = (1\ 4)(2\ 3)(1\ 2\ 4)(2\ 3)$

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2. 巡回置換の積への分解**

(1)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 4 & 7 & 6 & 5 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

$1 \mapsto 4, 4 \mapsto 5, 5 \mapsto 1$ なので $(1\ 4\ 5)$

$2 \mapsto 7, 7 \mapsto 3, 3 \mapsto 6, 6 \mapsto 2$ なので $(2\ 7\ 3\ 6)$

したがって、$(1\ 4\ 5)(2\ 7\ 3\ 6)$

(2)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 1 & 5 & 8 & 2 & 4 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

$1 \mapsto 3, 3 \mapsto 5, 5 \mapsto 2, 2 \mapsto 1$ なので $(1\ 3\ 5\ 2)$

$4 \mapsto 8, 8 \mapsto 7, 7 \mapsto 6, 6 \mapsto 4$ なので $(4\ 8\ 7\ 6)$

したがって、$(1\ 3\ 5\ 2)(4\ 8\ 7\ 6)$

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3. 互換の積への分解と符号の計算**

(1) $(1\ 3\ 6\ 4) = (1\ 4)(1\ 6)(1\ 3)$。互換の数は3なので、符号は $(-1)^3 = -1$

(2) $(1\ 2\ 5\ 3\ 4) = (1\ 4)(1\ 3)(1\ 5)(1\ 2)$。互換の数は4なので、符号は $(-1)^4 = 1$

(3) $(2\ 4\ 6) = (2\ 6)(2\ 4)$。互換の数は2なので、符号は $(-1)^2 = 1$

(4) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 7 & 4 & 1 & 2 & 5 & 6 \end{pmatrix} = (1\ 3\ 4)(2\ 7\ 6\ 5) = (1\ 4)(1\ 3)(2\ 5)(2\ 6)(2\ 7)$。互換の数は5なので、符号は $(-1)^5 = -1$

(5) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 3 & 4 & 1 & 9 & 8 & 6 & 5 & 7 & 2 \end{pmatrix} = (1\ 3)(2\ 4\ 9)(5\ 8\ 7\ 6) = (1\ 3)(2\ 9)(2\ 4)(5\ 6)(5\ 7)(5\ 8)$。互換の数は6なので、符号は $(-1)^6 = 1$

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3. 最終的な答え

1. (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

2. (1) $(1\ 4\ 5)(2\ 7\ 3\ 6)$ (2) $(1\ 3\ 5\ 2)(4\ 8\ 7\ 6)$

3. (1) $(1\ 3\ 6\ 4) = (1\ 4)(1\ 6)(1\ 3)$, 符号: -1

(2) $(1\ 2\ 5\ 3\ 4) = (1\ 4)(1\ 3)(1\ 5)(1\ 2)$, 符号: 1

(3) $(2\ 4\ 6) = (2\ 6)(2\ 4)$, 符号: 1

(4) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 7 & 4 & 1 & 2 & 5 & 6 \end{pmatrix} = (1\ 4)(1\ 3)(2\ 5)(2\ 6)(2\ 7)$, 符号: -1

(5) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 3 & 4 & 1 & 9 & 8 & 6 & 5 & 7 & 2 \end{pmatrix} = (1\ 3)(2\ 9)(2\ 4)(5\ 6)(5\ 7)(5\ 8)$, 符号: 1