兄は所持金の $\frac{3}{4}$ を、弟は所持金の $\frac{1}{2}$ を出し合い、兄弟で5000円のバットを1割引で買いました。残金は弟の方が兄より500円多くなりました。兄と弟のはじめの所持金を求めなさい。

1. 問題の内容

兄は所持金の $\frac{3}{4}$ を、弟は所持金の $\frac{1}{2}$ を出し合い、兄弟で5000円のバットを1割引で買いました。残金は弟の方が兄より500円多くなりました。兄と弟のはじめの所持金を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、バットの値段を計算します。5000円の1割引は、 $5000 \times 0.1 = 500$ 円なので、バットの値段は $5000 - 500 = 4500$ 円です。

次に、兄の所持金を $x$ 、弟の所持金を $y$ とします。

兄が出した金額は $\frac{3}{4}x$ 、弟が出した金額は $\frac{1}{2}y$ で、合わせて4500円なので、以下の式が成り立ちます。

$\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}y = 4500$

残金について、兄の残金は $x - \frac{3}{4}x = \frac{1}{4}x$ 、弟の残金は $y - \frac{1}{2}y = \frac{1}{2}y$ です。弟の残金は兄の残金より500円多いので、以下の式が成り立ちます。

$\frac{1}{2}y = \frac{1}{4}x + 500$

上記2つの式を連立方程式として解きます。2つ目の式を2倍すると、 $y = \frac{1}{2}x + 1000$ となります。

これを1つ目の式に代入します。

$\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}x + 1000) = 4500$

$\frac{3}{4}x + \frac{1}{4}x + 500 = 4500$

$x + 500 = 4500$

$x = 4000$

兄の所持金は4000円です。

次に、弟の所持金を求めます。

$y = \frac{1}{2}x + 1000 = \frac{1}{2}(4000) + 1000 = 2000 + 1000 = 3000$

弟の所持金は3000円です。

3. 最終的な答え

兄の所持金: 4000円

弟の所持金: 3000円