AとBの2つの野球チームが5試合行う。引き分けはないものとし、各試合でAチームがBチームに勝つ確率は$\frac{5}{8}$である。 (1) Aチームが勝った試合数をXとするとき、Xの平均と標準偏差を求めよ。 (2) 勝った試合数の2乗の勝ち点がもらえるとする。Aチームの勝ち点の平均を求めよ。

1. 問題の内容

AとBの2つの野球チームが5試合行う。引き分けはないものとし、各試合でAチームがBチームに勝つ確率は$\frac{5}{8}$である。

(1) Aチームが勝った試合数をXとするとき、Xの平均と標準偏差を求めよ。

(2) 勝った試合数の2乗の勝ち点がもらえるとする。Aチームの勝ち点の平均を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) Aチームが勝つ試合数Xは、二項分布に従う。試行回数$n=5$、成功確率$p=\frac{5}{8}$の二項分布$B(5, \frac{5}{8})$である。

二項分布の平均は$E(X) = np$、分散は$V(X) = np(1-p)$で与えられる。標準偏差は分散の平方根である。

平均$E(X) = 5 \cdot \frac{5}{8} = \frac{25}{8}$

分散$V(X) = 5 \cdot \frac{5}{8} \cdot (1-\frac{5}{8}) = 5 \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{75}{64}$

標準偏差$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{75}{64}} = \frac{\sqrt{75}}{8} = \frac{5\sqrt{3}}{8}$

(2) Aチームの勝ち点の平均を求める。勝ち点は勝った試合数の2乗なので、$Y = X^2$の期待値$E(Y) = E(X^2)$を求めればよい。

$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$より、$E(X^2) = V(X) + E(X)^2$である。

$E(X^2) = \frac{75}{64} + (\frac{25}{8})^2 = \frac{75}{64} + \frac{625}{64} = \frac{700}{64} = \frac{175}{16}$

3. 最終的な答え

(1) 平均: $\frac{25}{8}$, 標準偏差: $\frac{5\sqrt{3}}{8}$

(2) 勝ち点の平均: $\frac{175}{16}$