問題は3つあります。 1. 与えられた行列の積を計算し、与えられた等式が成り立つことを確認する。 $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ i & -i & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -i & -1 & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b & c & d \\ d & a & b & c \\ c & d & a & b \\ b & c & d & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+b+c+d & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a-ib-c+id & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-b+c-d & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a+ib-c-id \end{bmatrix} $$

はい、承知いたしました。問題文を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

1. 与えられた行列の積を計算し、与えられた等式が成り立つことを確認する。

$$$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

i & -i & -1 & 1 \\

1 & -1 & 1 & -1 \\

1 & -i & -1 & i

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

a & b & c & d \\

d & a & b & c \\

c & d & a & b \\

b & c & d & a

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

a+b+c+d & 0 & 0 & 0 \\

0 & a-ib-c+id & 0 & 0 \\

0 & 0 & a-b+c-d & 0 \\

0 & 0 & 0 & a+ib-c-id

\end{bmatrix}

$$$$

2. 与えられた行列式の値を計算する。

$$$$

\begin{vmatrix}

1 & i & -1 & -i \\

i & -1 & -i & 1 \\

-1 & -i & 1 & i \\

-i & 1 & i & -1

\end{vmatrix}

$$$$

3. 与えられた行列式が指定された積に等しいことを示す。

$$$$

\begin{vmatrix}

a & b & c & d \\

d & a & b & c \\

c & d & a & b \\

b & c & d & a

\end{vmatrix}

=

(a+b+c+d)(a-ib-c+id)(a-b+c-d)(a+ib-c-id)

$$$$

2. 解き方の手順

1. 行列の積を計算し、与えられた等式が成り立つことを確認します。左辺の行列の積を計算すると、右辺の行列が得られます。したがって、等式は正しいです。

2. 行列式の値を計算します。

$$$$

\begin{vmatrix}

1 & i & -1 & -i \\

i & -1 & -i & 1 \\

-1 & -i & 1 & i \\

-i & 1 & i & -1

\end{vmatrix}

$$$$

1行目にiを掛けたものを2行目から引く、1行目に-1を掛けたものを3行目から引く、1行目に-iを掛けたものを4行目から引くと、

$$$$

\begin{vmatrix}

1 & i & -1 & -i \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & -2i & 0 & -2i \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix}

$$$$

したがって、行列式の値は0です。

3. 行列式が与えられた積と等しいことを示します。行列式の性質を利用して、与えられた行列式を展開し、右辺の積に等しいことを示します。もしくは、1.の結果から示すこともできます。

3. 最終的な答え

1. 与えられた等式は正しいです。

2. 行列式の値は 0 です。

3. $$

\begin{vmatrix}

a & b & c & d \\

d & a & b & c \\

c & d & a & b \\

b & c & d & a

\end{vmatrix}

=

(a+b+c+d)(a-ib-c+id)(a-b+c-d)(a+ib-c-id)

$$$$