与えられた式 $x^4 + 4y^4$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 + 4y^4$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式はSophie Germain's Identityと呼ばれる公式を利用して因数分解できます。

まず、$x^4 + 4y^4$ に $4x^2y^2$ を足して引き、平方完成の形にします。

$x^4 + 4y^4 = x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4 - 4x^2y^2$

ここで、$x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4$ は $(x^2 + 2y^2)^2$ となります。また、$4x^2y^2$ は $(2xy)^2$ となります。したがって、

$x^4 + 4y^4 = (x^2 + 2y^2)^2 - (2xy)^2$

これは、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ という因数分解の形なので、適用すると、

$x^4 + 4y^4 = (x^2 + 2y^2 + 2xy)(x^2 + 2y^2 - 2xy)$

通常、$x, y$ の次数が小さい順に並べるので、整理すると、

$x^4 + 4y^4 = (x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2xy + 2y^2)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2xy + 2y^2)$