横が縦より3cm長い長方形の厚紙がある。この厚紙の4隅から一辺5cmの正方形を切り取って蓋のない箱を作ったところ、その容積が770 $cm^3$になった。 (1) 元の縦の長さを$x$ cmとして、横の長さを表す。 (2) 元の厚紙の縦の長さを求める。

1. 問題の内容

横が縦より3cm長い長方形の厚紙がある。この厚紙の4隅から一辺5cmの正方形を切り取って蓋のない箱を作ったところ、その容積が770 $cm^3$になった。

(1) 元の縦の長さを$x$ cmとして、横の長さを表す。

(2) 元の厚紙の縦の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

元の縦の長さを$x$ cmとする。

横は縦より3cm長いので、元の横の長さは$(x+3)$ cmとなる。

(2)

箱の底面の縦の長さは$x-2 \times 5 = x - 10$ cm。

箱の底面の横の長さは$(x+3)-2 \times 5 = x + 3 - 10 = x - 7$ cm。

箱の高さは5 cm。

箱の容積は、$(x-10)(x-7) \times 5$ cm$^3$。

箱の容積が770 cm$^3$なので、

$(x-10)(x-7) \times 5 = 770$

$(x-10)(x-7) = 154$

$x^2 - 17x + 70 = 154$

$x^2 - 17x - 84 = 0$

$(x - 21)(x + 4) = 0$

$x = 21, -4$

$x > 0$より、$x = 21$。

したがって、元の厚紙の縦の長さは21 cm。

3. 最終的な答え

(1) $x+3$ cm

(2) 21 cm