行列 $A$ と $B$ が与えられています。 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 4 \end{bmatrix}$ 行列 $A$ と $B$ を適切にブロック分割し、それを用いて積 $AB$ を計算します。

1. 問題の内容

行列 $A$ と $B$ が与えられています。

$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 4 \end{bmatrix}$

行列 $A$ と $B$ を適切にブロック分割し、それを用いて積 $AB$ を計算します。

2. 解き方の手順

行列 $A$ と $B$ を次のように $2 \times 2$ のブロックに分割します。

$A = \begin{bmatrix} A_1 & 0 & 0 \\ 0 & A_2 & 0 \\ 0 & 0 & A_3 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} B_1 & 0 & 0 \\ 0 & B_2 & 0 \\ 0 & 0 & B_3 \end{bmatrix}$

ここで

$A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$, $A_2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$, $A_3 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$

$B_1 = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$, $B_2 = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$, $B_3 = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$

したがって、$AB$ は以下のようになります。

$AB = \begin{bmatrix} A_1B_1 & 0 & 0 \\ 0 & A_2B_2 & 0 \\ 0 & 0 & A_3B_3 \end{bmatrix}$

$A_1B_1 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) & 2 \cdot (-2) + 1 \cdot 4 \\ 3 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) & 3 \cdot (-2) + 2 \cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

同様に、$A_2B_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$、$A_3B_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

よって、$AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$