与えられた連立一次方程式の解を求める問題です。連立一次方程式は以下のように与えられています。 $\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 6 \\ -1 & -1 & 2 & -7 \\ 1 & 1 & 1 & 4 \end{bmatrix} x = \begin{bmatrix} 5 \\ -3 \\ 9 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の解を求める問題です。連立一次方程式は以下のように与えられています。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 6 \\ -1 & -1 & 2 & -7 \\ 1 & 1 & 1 & 4 \end{bmatrix} x = \begin{bmatrix} 5 \\ -3 \\ 9 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

この連立一次方程式を解くために、拡大係数行列を作成し、行基本変形を用いて階段行列に変形します。

拡大係数行列は以下のようになります。

$\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -1 & 6 & 5 \\ -1 & -1 & 2 & -7 & -3 \\ 1 & 1 & 1 & 4 & 9 \end{array} \right]$

1行目を基準に、2行目に1行目を足し、3行目から1行目を引きます。

$\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -1 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 4 \end{array} \right]$

3行目から2行目の2倍を引きます。

$\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -1 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$

1行目に2行目を足します。

$\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$

この行列は階段行列であり、方程式系は以下のようになります。

$x_1 + x_2 + 5x_4 = 7$

$x_3 - x_4 = 2$

$x_2$と$x_4$を自由変数とすると、$x_2 = s$, $x_4 = t$ と置くことができます。

したがって、$x_1 = 7 - s - 5t$ , $x_3 = 2 + t$ となります。

解は、$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 - s - 5t \\ s \\ 2 + t \\ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -5 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

解は、$x = \begin{bmatrix} 7 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -5 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ （$s, t$は任意の実数）