$a$ を定数とする。関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ （$0 \leqq x \leqq 1$）の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ （$0 \leqq x \leqq 1$）の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4ax + 2a^2 = 2(x^2 - 2ax) + 2a^2 = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2a^2 = 2(x-a)^2 - 2a^2 + 2a^2 = 2(x-a)^2$

したがって、与えられた2次関数は $y = 2(x-a)^2$ と表されます。

これは、軸が $x = a$ の下に凸な放物線です。定義域 $0 \leqq x \leqq 1$ における最小値を求める必要があります。軸 $x = a$ の位置によって場合分けを行います。

(i) $a < 0$ のとき

定義域 $0 \leqq x \leqq 1$ において、関数は単調増加なので、$x = 0$ で最小値をとります。

最小値は $y = 2(0-a)^2 = 2a^2$ です。

(ii) $0 \leqq a \leqq 1$ のとき

定義域内に軸 $x = a$ が含まれているので、$x = a$ で最小値をとります。

最小値は $y = 2(a-a)^2 = 0$ です。

(iii) $a > 1$ のとき

定義域 $0 \leqq x \leqq 1$ において、関数は単調減少なので、$x = 1$ で最小値をとります。

最小値は $y = 2(1-a)^2 = 2(1 - 2a + a^2) = 2a^2 - 4a + 2$ です。

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最小値は $2a^2$

$0 \leqq a \leqq 1$ のとき、最小値は $0$

$a > 1$ のとき、最小値は $2a^2 - 4a + 2$