与えられた等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。 (1) $1, 0.5, 0.25, 0.125, ...$ (2) $2, \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \frac{2}{27}, ...$

1. 問題の内容

与えられた等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。

(1) $1, 0.5, 0.25, 0.125, ...$

(2) $2, \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \frac{2}{27}, ...$

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を利用します。

初項を $a$, 公比を $r$ とすると、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$r \ne 1$ のとき

$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

$r = 1$ のとき

$$S_n = na$$

で与えられます。

(1) 初項 $a = 1$, 公比 $r = 0.5 = \frac{1}{2}$ です。

$r \ne 1$ なので、等比数列の和の公式に代入します。

$$S_n = \frac{1(1-(0.5)^n)}{1-0.5} = \frac{1-(\frac{1}{2})^n}{\frac{1}{2}} = 2(1-(\frac{1}{2})^n) = 2 - 2^{1-n}$$

(2) 初項 $a = 2$, 公比 $r = \frac{1}{3}$ です。

$r \ne 1$ なので、等比数列の和の公式に代入します。

$$S_n = \frac{2(1-(\frac{1}{3})^n)}{1-\frac{1}{3}} = \frac{2(1-(\frac{1}{3})^n)}{\frac{2}{3}} = 3(1-(\frac{1}{3})^n) = 3 - 3^{1-n}$$

3. 最終的な答え

(1) $2 - 2^{1-n}$

(2) $3 - 3^{1-n}$