等比数列 $\{a_n\}$ において、第3項が36、第5項が324であるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

等比数列 $\{a_n\}$ において、第3項が36、第5項が324であるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は、$a_n = a_1 r^{n-1}$ で表される。ここで、$a_1$ は初項、$r$ は公比である。

問題より、

$a_3 = a_1 r^{3-1} = a_1 r^2 = 36$ ...(1)

$a_5 = a_1 r^{5-1} = a_1 r^4 = 324$ ...(2)

(2)を(1)で割ると、

$\frac{a_1 r^4}{a_1 r^2} = \frac{324}{36}$

$r^2 = 9$

$r = \pm 3$

(i) $r = 3$ のとき、(1)より

$a_1 (3)^2 = 36$

$9 a_1 = 36$

$a_1 = 4$

したがって、$a_n = 4 \cdot 3^{n-1}$

(ii) $r = -3$ のとき、(1)より

$a_1 (-3)^2 = 36$

$9 a_1 = 36$

$a_1 = 4$

したがって、$a_n = 4 \cdot (-3)^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = 4 \cdot 3^{n-1}$ または $a_n = 4 \cdot (-3)^{n-1}$