実数 $a$ ($a \ne 0, \pm 1$) に対して、関数 $y = \sqrt{a^2 - x}$ のグラフと直線 $y = ax - a$ が接するときの、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ ($a \ne 0, \pm 1$) に対して、関数 $y = \sqrt{a^2 - x}$ のグラフと直線 $y = ax - a$ が接するときの、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$y = \sqrt{a^2 - x}$ より、$y^2 = a^2 - x$ ($y \ge 0$) なので、$x = a^2 - y^2$ である。

これを $y = ax - a$ に代入すると、

$y = a(a^2 - y^2) - a$

$y = a^3 - ay^2 - a$

$ay^2 + y - a^3 + a = 0$

$a \ne 0$ なので、これは $y$ についての2次方程式である。

この方程式が重解を持つとき、グラフと直線は接する。判別式 $D = 0$ となる。

$D = 1^2 - 4a(-a^3 + a) = 1 + 4a^4 - 4a^2 = 0$

$4a^4 - 4a^2 + 1 = 0$

$(2a^2 - 1)^2 = 0$

$2a^2 - 1 = 0$

$a^2 = \frac{1}{2}$

$a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

ここで、$y \ge 0$ である必要があるので、$y = ax - a = a(x-1) \ge 0$。

$a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$y=\frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2}$と $x=a^2 - y^2=\frac{1}{2} - y^2$を連立して解くと、$ay^2 + y - a^3 + a = \frac{\sqrt{2}}{2}y^2 + y - \frac{\sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}y^2 + y + \frac{3\sqrt{2}}{8} = 0$となり、判別式$D = 1 - 4(\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{3\sqrt{2}}{8}) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} < 0$となり、実数解を持たない。

$a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2}$と$x=a^2 - y^2 = \frac{1}{2}-y^2$を連立して解くと、$ay^2 + y - a^3 + a = -\frac{\sqrt{2}}{2}y^2 + y + \frac{\sqrt{2}}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}y^2 + y - \frac{3\sqrt{2}}{8} = 0$となり、判別式$D = 1 - 4(-\frac{\sqrt{2}}{2})(-\frac{3\sqrt{2}}{8}) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} < 0$となり、実数解を持たない。

$ay^2 + y - a^3 + a = 0$の解は重解を持つ必要がある。

$y = -\frac{1}{2a}$

$a^2 - x = \frac{1}{4a^2}$

$x = a^2 - \frac{1}{4a^2}$

$y = ax - a$ より、

$-\frac{1}{2a} = a(a^2 - \frac{1}{4a^2}) - a$

$-\frac{1}{2a} = a^3 - \frac{1}{4a} - a$

$-2 = 4a^4 - 1 - 4a^2$

$4a^4 - 4a^2 + 1 = 0$

$(2a^2 - 1)^2 = 0$

$a^2 = \frac{1}{2}$

$a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$y = -\frac{1}{2a} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ であるが、$y \ge 0$ なので不適。

$a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$y = -\frac{1}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{2} \ge 0$ なので適する。

$x = a^2 - \frac{1}{4a^2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4(\frac{1}{2})} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$

$y = ax - a = -\frac{\sqrt{2}}{2}(0) + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$