(1) $(2 - \sqrt{3} - \sqrt{7})(2 - \sqrt{3} + \sqrt{7})$ の値を求める。 (2) 整式 $A$ を $x^2 - x - 2$ で割ったときの商が $x^2 + 4x + 4$, 余りが $13x + 10$ であるとき、$A$ を求める。 (3) $\triangle ABC$ において, $AB = 1, AC = \sqrt{3}, \angle BAC = 150^\circ$ であるとき, $BC$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $(2 - \sqrt{3} - \sqrt{7})(2 - \sqrt{3} + \sqrt{7})$ の値を求める。

(2) 整式 $A$ を $x^2 - x - 2$ で割ったときの商が $x^2 + 4x + 4$, 余りが $13x + 10$ であるとき、$A$ を求める。

(3) $\triangle ABC$ において, $AB = 1, AC = \sqrt{3}, \angle BAC = 150^\circ$ であるとき, $BC$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$(2 - \sqrt{3} - \sqrt{7})(2 - \sqrt{3} + \sqrt{7})$

$= (2 - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2$

$= (4 - 4\sqrt{3} + 3) - 7$

$= 7 - 4\sqrt{3} - 7$

$= -4\sqrt{3}$

(2)

整式 $A$ は,

$A = (x^2 - x - 2)(x^2 + 4x + 4) + (13x + 10)$

$= x^4 + 4x^3 + 4x^2 - x^3 - 4x^2 - 4x - 2x^2 - 8x - 8 + 13x + 10$

$= x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 2$

(3)

余弦定理より

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$

$= 1^2 + (\sqrt{3})^2 - 2(1)(\sqrt{3})\cos 150^\circ$

$= 1 + 3 - 2\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$= 4 + 3$

$= 7$

$BC = \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) $-4\sqrt{3}$

(2) $A = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 2$

(3) $BC = \sqrt{7}$