## 問題の解答

## 問題の解答

以下に、画像にある数学の問題の解答を示します。

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3. 行列 A = $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ の定める1次変換を $f$ とする。

#### (1) 点 (1, 1) の $f$ による像を求めよ。

**解き方の手順**

点 (1, 1) の像は、行列 $A$ とベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ の積で求められます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \\ 3 \cdot 1 + 6 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix}$

**最終的な答え**

点 (1, 1) の $f$ による像は (3, 9) です。

#### (2) 直線 $x - y = 0$ の $f$ による像を求めよ。

**解き方の手順**

直線 $x - y = 0$ は $y = x$ と表せます。この直線上の点 $(x, x)$ が $f$ によってどのように写されるかを考えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot x + 2 \cdot x \\ 3 \cdot x + 6 \cdot x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x \\ 9x \end{pmatrix}$

ここで、像の座標を $(X, Y)$ とすると、$X = 3x$、$Y = 9x$ となります。

$Y = 3X$ が得られます。

**最終的な答え**

直線 $x - y = 0$ の $f$ による像は直線 $y = 3x$ です。

#### (3) 零ベクトル $\overrightarrow{0}$ の $f$ による逆像を求めよ。

**解き方の手順**

零ベクトルの逆像は、$A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を満たすベクトル $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を求めることで求められます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 2y \\ 3x + 6y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この連立方程式は、$x + 2y = 0$ を意味します。したがって、$x = -2y$ となります。

**最終的な答え**

零ベクトルの $f$ による逆像は、直線 $x + 2y = 0$ 上の全ての点です。

#### (4) $f$ は1対1対応 (全単射) であるかどうか判定せよ。

**解き方の手順**

$f$ が1対1対応であるためには、異なる点が異なる点に写される必要があります。また、任意の点が像として存在する必要があります。

行列 $A$ の行列式を計算すると、

$\det(A) = 1 \cdot 6 - 2 \cdot 3 = 6 - 6 = 0$

行列式が0であるため、$A$ は正則行列ではありません。したがって、$f$ は全単射ではありません。

**最終的な答え**

$f$ は1対1対応（全単射）ではありません。

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5. 行列 A = $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$ の固有値、固有ベクトルを求めよ。

**解き方の手順**

固有値を求めるために、固有方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ を解きます。ここで、$I$ は単位行列、$\lambda$ は固有値です。

$\det \begin{pmatrix} 3-\lambda & -1 \\ 4 & -2-\lambda \end{pmatrix} = (3-\lambda)(-2-\lambda) - (-1)(4) = 0$

これを展開すると、

$-6 - 3\lambda + 2\lambda + \lambda^2 + 4 = 0$

$\lambda^2 - \lambda - 2 = 0$

$(\lambda - 2)(\lambda + 1) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 2$ と $\lambda_2 = -1$ です。

次に、それぞれの固有値に対する固有ベクトルを求めます。

* $\lambda_1 = 2$ の場合：

$(A - 2I)v = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x - y = 0$ より、$x = y$ となります。したがって、固有ベクトルは $v_1 = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$（$c_1$ は0でない任意のスカラー）です。

* $\lambda_2 = -1$ の場合：

$(A + I)v = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$4x - y = 0$ より、$y = 4x$ となります。したがって、固有ベクトルは $v_2 = c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$（$c_2$ は0でない任意のスカラー）です。

**最終的な答え**

固有値は $\lambda_1 = 2$、$\lambda_2 = -1$ です。それぞれの固有値に対応する固有ベクトルは、$\lambda_1 = 2$ に対して $v_1 = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$、$\lambda_2 = -1$ に対して $v_2 = c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ （$c_1, c_2$ は0でない任意のスカラー）です。

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6. 行列 A = $\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 6 & -7 \end{pmatrix}$ と自然数 n に対して、A^n を求めよ。

**解き方の手順**

行列 $A$ を対角化することで、$A^n$ を計算します。まず、$A$ の固有値と固有ベクトルを求めます。

これは問題5と同様の手順で行います。

固有方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ を解きます。

$\det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 6 \\ 6 & -7-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)(-7-\lambda) - (6)(6) = 0$

$-14 - 2\lambda + 7\lambda + \lambda^2 - 36 = 0$

$\lambda^2 + 5\lambda - 50 = 0$

$(\lambda + 10)(\lambda - 5) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = -10$ と $\lambda_2 = 5$ です。

次に、それぞれの固有値に対する固有ベクトルを求めます。

* $\lambda_1 = -10$ の場合：

$(A + 10I)v = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 12 & 6 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x + y = 0$ より、$y = -2x$ となります。したがって、固有ベクトルは $v_1 = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$（$c_1$ は0でない任意のスカラー）です。

* $\lambda_2 = 5$ の場合：

$(A - 5I)v = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} -3 & 6 \\ 6 & -12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + 2y = 0$ より、$x = 2y$ となります。したがって、固有ベクトルは $v_2 = c_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$（$c_2$ は0でない任意のスカラー）です。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ とおくと、$P^{-1}AP = D = \begin{pmatrix} -10 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$ となります。

$A = PDP^{-1}$ より、$A^n = PD^nP^{-1}$ となります。

$D^n = \begin{pmatrix} (-10)^n & 0 \\ 0 & 5^n \end{pmatrix}$

$P^{-1} = \frac{1}{(1)(1) - (2)(-2)} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (-10)^n & 0 \\ 0 & 5^n \end{pmatrix} \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} (-10)^n & 2 \cdot 5^n \\ -2 \cdot (-10)^n & 5^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

$A^n = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} (-10)^n + 4 \cdot 5^n & -2 \cdot (-10)^n + 2 \cdot 5^n \\ -2 \cdot (-10)^n + 2 \cdot 5^n & 4 \cdot (-10)^n + 5^n \end{pmatrix}$

**最終的な答え**

$A^n = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} (-10)^n + 4 \cdot 5^n & -2 \cdot (-10)^n + 2 \cdot 5^n \\ -2 \cdot (-10)^n + 2 \cdot 5^n & 4 \cdot (-10)^n + 5^n \end{pmatrix}$

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**注意:**

問題1, 2,

4. は今回は省略しています。もしこれらの問題の解答も必要でしたら、お申し付けください。