関数 $y = 2x^2 + 4x + c$ の $-2 \le x \le 1$ における最大値が7であるとき、定数 $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + 4x + c$ の $-2 \le x \le 1$ における最大値が7であるとき、定数 $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 + 4x + c = 2(x^2 + 2x) + c = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + c = 2(x+1)^2 - 2 + c$

よって、 $y = 2(x+1)^2 + (c-2)$ となります。

この関数の頂点は $(-1, c-2)$ です。定義域 $-2 \le x \le 1$ の範囲における関数の最大値を考えます。

軸 $x=-1$ は定義域に含まれているので、頂点における値が最小値になります。

最大値を考えるため、定義域の端点における値を比較します。

$x=-2$ のとき $y = 2(-2+1)^2 + (c-2) = 2(1) + c - 2 = c$

$x=1$ のとき $y = 2(1+1)^2 + (c-2) = 2(4) + c - 2 = 8 + c - 2 = c + 6$

$c$ と $c+6$ を比較すると、$c+6 > c$ であるため、$x=1$ のとき最大値 $c+6$ をとります。

問題文より、最大値は7であるので、$c+6 = 7$。

これを解くと、$c = 7 - 6 = 1$

3. 最終的な答え

$c = 1$