関数 $y = x^2 - 2ax - a$ (定義域 $0 \le x \le 2$) について、以下の問いに答えます。 (1) 最大値とそのときの $x$ の値を求めます。 (2) 最小値が $-2$ となるように、定数 $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2ax - a$ (定義域 $0 \le x \le 2$) について、以下の問いに答えます。

(1) 最大値とそのときの $x$ の値を求めます。

(2) 最小値が $-2$ となるように、定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 最大値を求める。

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax - a = (x - a)^2 - a^2 - a$

これは、軸が $x = a$ の下に凸な放物線です。定義域は $0 \le x \le 2$ です。最大値は、軸 $x=a$ の位置によって場合分けして考えます。

(i) $a < 1$ のとき、$x=0$ で最大値をとります。

最大値は $y = 0^2 - 2a(0) - a = -a$.

(ii) $a > 1$ のとき、$x=2$ で最大値をとります。

最大値は $y = 2^2 - 2a(2) - a = 4 - 4a - a = 4 - 5a$.

(iii) $a=1$のとき、$x=0$および$x=2$で最大値をとります。

最大値は$y=-a$であり、$y=4-5a$でもある。これは$a=1$のときに成り立つ。よって$y=-1$となる。

(2) 最小値を求める。

最小値が$-2$となる場合を考えます。

放物線の軸 $x = a$ の位置によって場合分けします。

(i) $a \le 0$ のとき、区間 $[0, 2]$ において関数は単調増加なので、最小値は $x=0$ のときにとり、最小値は $y = 0^2 - 2a(0) - a = -a$. これが $-2$ となるとき、 $-a = -2$, よって $a = 2$. これは、$a \le 0$ に反するので、不適。

(ii) $0 < a < 2$ のとき、区間 $[0, 2]$ に軸が含まれるので、最小値は $x = a$ のときにとり、最小値は $y = a^2 - 2a^2 - a = -a^2 - a$. これが $-2$ となるとき、 $-a^2 - a = -2$, よって $a^2 + a - 2 = 0$. これは $(a+2)(a-1) = 0$ と因数分解できるので、$a = -2, 1$. $0 < a < 2$ より、$a=1$.

(iii) $a \ge 2$ のとき、区間 $[0, 2]$ において関数は単調減少なので、最小値は $x=2$ のときにとり、最小値は $y = 2^2 - 2a(2) - a = 4 - 4a - a = 4 - 5a$. これが $-2$ となるとき、$4 - 5a = -2$, よって $5a = 6$, つまり $a = \frac{6}{5}$. これは、$a \ge 2$ に反するので、不適。

したがって、$a = 1$.

(1) 最大値

$a < 1$ のとき、最大値 $-a$ ($x=0$).

$a > 1$ のとき、最大値 $4 - 5a$ ($x=2$).

$a = 1$ のとき、最大値 $-1$ ($x=0, x=2$).

(2) $a=1$

3. 最終的な答え

(1)

$a < 1$ のとき、最大値 $-a$ ($x=0$).

$a > 1$ のとき、最大値 $4 - 5a$ ($x=2$).

$a = 1$ のとき、最大値 $-1$ ($x=0, 2$).

(2) $a = 1$