2つの数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ が以下の漸化式で定義されている。 $a_1 = 1$ $b_1 = 1$ $a_{n+1} = 2a_n + 3b_n + 6$ $b_{n+1} = -2a_n + 9b_n + 2$ (1) 数列 $\{a_n - 3b_n\}$、$\{2a_n - b_n\}$ の一般項をそれぞれ求めよ。 (2) 数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ の一般項をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

2つの数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ が以下の漸化式で定義されている。

$a_1 = 1$

$b_1 = 1$

$a_{n+1} = 2a_n + 3b_n + 6$

$b_{n+1} = -2a_n + 9b_n + 2$

(1) 数列 $\{a_n - 3b_n\}$、$\{2a_n - b_n\}$ の一般項をそれぞれ求めよ。

(2) 数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ の一般項をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$c_n = a_n - 3b_n$ および $d_n = 2a_n - b_n$ とおく。

$c_{n+1} = a_{n+1} - 3b_{n+1}$ に与えられた漸化式を代入すると、

$c_{n+1} = (2a_n + 3b_n + 6) - 3(-2a_n + 9b_n + 2) = 2a_n + 3b_n + 6 + 6a_n - 27b_n - 6 = 8a_n - 24b_n = 8(a_n - 3b_n) = 8c_n$

したがって、$c_{n+1} = 8c_n$ であり、$c_1 = a_1 - 3b_1 = 1 - 3(1) = -2$ であるから、$\{c_n\}$ は初項 $-2$、公比 $8$ の等比数列である。

よって、$c_n = -2 \cdot 8^{n-1}$

次に、$d_{n+1} = 2a_{n+1} - b_{n+1}$ に与えられた漸化式を代入すると、

$d_{n+1} = 2(2a_n + 3b_n + 6) - (-2a_n + 9b_n + 2) = 4a_n + 6b_n + 12 + 2a_n - 9b_n - 2 = 6a_n - 3b_n + 10 = 3(2a_n - b_n) + 10 = 3d_n + 10$

したがって、$d_{n+1} = 3d_n + 10$ である。

$d_{n+1} + 5 = 3(d_n + 5)$ と変形できるので、$e_n = d_n + 5$ とおくと、$e_{n+1} = 3e_n$ となる。

$e_1 = d_1 + 5 = (2a_1 - b_1) + 5 = (2(1) - 1) + 5 = 6$ であるから、$\{e_n\}$ は初項 $6$、公比 $3$ の等比数列である。

よって、$e_n = 6 \cdot 3^{n-1} = 2 \cdot 3^n$

したがって、$d_n = e_n - 5 = 2 \cdot 3^n - 5$

(2)

$a_n - 3b_n = -2 \cdot 8^{n-1}$ (1)

$2a_n - b_n = 2 \cdot 3^n - 5$ (2)

(2) - (1) × 2 より、

$(2a_n - b_n) - 2(a_n - 3b_n) = (2 \cdot 3^n - 5) - 2(-2 \cdot 8^{n-1})$

$2a_n - b_n - 2a_n + 6b_n = 2 \cdot 3^n - 5 + 4 \cdot 8^{n-1}$

$5b_n = 2 \cdot 3^n + 4 \cdot 8^{n-1} - 5$

$b_n = \frac{2}{5} \cdot 3^n + \frac{4}{5} \cdot 8^{n-1} - 1$

(2) × 3 - (1) より、

$3(2a_n - b_n) - (a_n - 3b_n) = 3(2 \cdot 3^n - 5) - (-2 \cdot 8^{n-1})$

$6a_n - 3b_n - a_n + 3b_n = 6 \cdot 3^n - 15 + 2 \cdot 8^{n-1}$

$5a_n = 6 \cdot 3^n + 2 \cdot 8^{n-1} - 15$

$a_n = \frac{6}{5} \cdot 3^n + \frac{2}{5} \cdot 8^{n-1} - 3$

$a_n = \frac{2}{5} \cdot 3^{n+1} + \frac{2}{5} \cdot 8^{n-1} - 3$

3. 最終的な答え

(1) $a_n - 3b_n = -2 \cdot 8^{n-1}$

$2a_n - b_n = 2 \cdot 3^n - 5$

(2) $a_n = \frac{2}{5} \cdot 3^{n+1} + \frac{2}{5} \cdot 8^{n-1} - 3$

$b_n = \frac{2}{5} \cdot 3^n + \frac{4}{5} \cdot 8^{n-1} - 1$